MATLAB实验傅里叶分析.doc

实验七 傅里叶变换一、实验目的 傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分 布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MATLAB提供了专门的函数fft、ifft、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift用于实现对信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft、ifft以及fftshift函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。二、实验预备知识1. 离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介设x(t)是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为显然X( f )代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X( f )是复数。而傅里叶逆变换定义为：因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。x(t)d 脉冲序列x(t)d (tnT)ttt由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x(t)进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列:d (tnT ), n = 0, 1, 2, , N1； 可以实现上述目的，如图所示。其中N为采样点数，T为采样周期；fs = 1/T是采样频率。注意采样时，采样频率fs必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。 接下来对离散后的时域波形的傅里叶变换进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的d脉冲序列：d ( fn/T0), n = 0, 1, 2, , N1；T0= NT 为总采样时间可以实现傅里叶变换的离散化，如下图示。不难看出，离散后的傅里叶变换其频率间隔(频率轴上离散点的间隔，即频域分辨率)fffd (fn/T0)X( f )混迭因此要增加分辨率须增加采样点数目N。频域上每个离散点对应的频率为:显然n = 0的点对应于直流成分。 经过以上离散化处理之后，连续积分的傅里叶变换(1)式转变为如下离散形式：其中tk= kT（k=0,1,2,N-1）代表采样点时刻。X( fn)一般是复数，因此离散傅里叶变换(DFT)后变成一个N点（采样点数）的复数序列。X( fn)绝对值代表振幅，其幅角代表相位，因此由(5)式可以给出DFT的振幅频谱和相位频谱。(5)式通常又简写成如下形式：其中 ，x是采样点数据，它是一个N个点的向量，DFT的结果X是N个点的复数向量。(5)式或(6)式就是对傅里叶变换进行数值计算的基础。 一般采样点数N越大，DFT的结果越接近真实的情况，但是当N较大时，(6)式的计算量很大，因为使用计算机求解(6)式时，总共要执行N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。所以直接用DFT算法（即(5)式）进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。为了减轻计算的压力，人们提出了一种所谓快速傅里叶变换(FFT)的思想：取N =2m，首先将N个点的采样数据分成两个N/2点的序列： （偶数序列） （奇数序列）这样处理的好处是可以把(6)式分解为两个N/2点的DFT，使计算量降下来。接下来再将N/2点的序列x1仿照上述做法进一步分裂成2个N/4点的序列x3和x4，另一序列x2亦做如此处理，分裂成2个N/4点的序列x5和x6。这样两个N/2点的序列分成了更短的4个N/4点的序列，依次类推，最后的结果是将一个N点的序列x裂成了N个点的单点序列：x0, x1, x2, , xN-1。这样做可以将DFT的运算效率提高12个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，从而推动数字处理技术的发展。由此可见FFT的思想实质是不断地把长序列的DFT计算分解成若干短序列的DFT，并利用旋转因子(即WN )的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。所以FFT就是DFT的快速算法。有关FFT算法的详细介绍和理论推导参见有关的书籍，这里不做进一步介绍。2. FFT的MATLAB实现 为了实现快速傅里叶变换，MATLAB提供了fft、ifft、fft2、ifft2以及fftshift函数，分别用于一维和二维离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换。借助这些函数可以完成很多信号处理任务。考虑到信号处理包含的领域很广泛，这里只介绍一维傅里叶变换及其逆变换函数。(1) fft函数该函数使用了快速算法来实现时域信号的离散傅里叶变换。常用的格式：Y= fft (x)Y= fft (x, m)返回值（复数），返回m点的DFT序列，即(6)式左边的X；m计算时使用的数据点数（样本数）；x时域信号x(t)在采样点tk处的值，即(6)式右边的x；若实际采样点数目为（m和都须是的幂次），则为个元素（即长度）的向量；若向量的长度小于m，那么计算时将自动在序列的后面补；若的长度大于m，则自动截断，使之长度为m。对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数（m）最好与原信号含有的数据点数（即输入的样本数）相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。两点说明： 关于FFT振幅频谱和相位频谱的计算 由于傅里叶变换的结果一般是复数，所以l 对fft的结果取绝对值abs()可以得到振幅，即Amplitude = abs(Y)需要注意的是这样得到的幅值实际并非真正的信号振幅，因其值与FFT使用的数据点数N有关，但不影响分析结果，在IFFT（逆变换）时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将上述结果除以N/2即可。l 对fft的结果使用函数angle()可以得到相位的结果。但是使用angle函数计算复数的相角时，系统规定一、二象限的角为0p；三、四象限的角为-p0。因此若一个角度本来应该从0变到2p，但计算得到的结果却是0p，再由-p0，在p处发生跳变，跳变幅度为2p，这就叫相位的卷绕。这种相位的卷绕会使得相频图不连续，呈现锯齿状，为了平滑相频图，通常要再使用unwrap()函数进行相位的解卷绕。因此FFT的相位频谱图应该如下实现Phase = unwrap(angle(Y)FFT的振幅频谱具有对称性如下图所示。fn：f 轴对称轴(Nyquist频率)负频部分 正频部分FFT：0注意：频率轴上最后一个点的频率等于采样频率， 实际上不存在。 为频率轴上的频率点。特别： 为Nyquist频率，整个FFT频谱关于此频率对称，右边实际上是负频因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0Nyquist频率范围内（共N/2+1个频率点）的幅频特性。(2) fftshift函数其作用是将零频点移到频谱的中间（即Nyquist频率处），使用格式：Y=fftshift(X)X是向量，该命令将零频点移动到频谱X的中间，并交换频谱X的左右两半。将零频点放到频谱的中间对于观察傅立叶变换是有用的。例：对时域信号进行频谱分析。fs=100; % 采样频率2倍的信号频率N=256; % 采样点数目（=2的幂次）n=0:N-1; % 构造采样点序列t=n/fs; % 得到采样时间序列，t=nT=n/fsx=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); % 产生时域信号的样本值，向量Y=fft(x,N); % N点的DFT计算mag=abs(Y); % FFT的振幅 phase=unwrap(angle(Y); % FFT的相位% 1. 以下绘制物理频谱图（即正频部分）fn=(0:N/2)*fs/N; % 频率轴上的离散频率点，起始于0频(对应直流成分)，终%于Nyquist频率fs/2，共N/2+1个频率点subplot(2,2,1)% 将图形窗口分割为22的子窗口，并指定第1个子窗口为绘图区plot(fn,mag(1:N/2+1) % 取出前N/2+1个振幅作图，即正频率分量xlabel(频率/Hz);ylabel(振 幅);title(图1： 物理(正频)幅频图);grid on % 加网格线% 2. 以下绘制全频率的幅频图fn1=(0:N-1)*fs/N; subplot(2,2,2) %指定第2个子窗口为绘图区plot(fn1,mag);xlabel(频率/Hz);ylabel(振 幅);title(图2： 全频率的幅频图); grid on %3. 以下绘制正频部分的相频图subplot(2,2,3) %指定第3个子窗口为绘图区plot(fn,phase(1:N/2+1);xlabel(频率/Hz);ylabel(相 位);title(图3： 相 频 图);grid%4. 以下移动零频点Y1=fftshift(Y); % fftshift移动频率零点，并将Y的左右两部分交换mag1=abs(Y1); % 重新计算振幅fn2=fn1-fs/2; % 零点移动到fs/2处，故需重新标记频率轴subplot(2,2,4); %指定第4个子窗口为绘图区，最终4幅图绘制在一张图上了plot(fn2,mag1);xlabel(频率/Hz);ylabel(振 幅);title(图4： fftshift后的幅频图);grid运行结果如下：图说明：1是物理谱图(正频部分)，从中看到，该信号包含两个频率15Hz和40Hz。由于使用的采样频率fs=100Hz，所以Nyquist频率为50Hz，在图2中明显能看到整个频谱图关于Nyquist频率对称，不过Nyquist频率右边的谱图实际上是负频部分，没有意义。图4是fftshift之后的幅频图，由于它是图2结果的左右交换，因此图2右边变成了负频。另外，图中的振幅不是真实的信号振幅，从信号x(t)的表达式我们知道15Hz和40Hz这两种频率成分的振幅分别是0.5和2。要得到真实的振幅，只需要将程序中的mag除以N/2即可。(3) ifft函数执行离散傅里叶变换的逆变换，格式x = ifft (Y) 或者 x = ifft (Y, m)Y是FFT的输出结果，返回值x是时域上的结果，m仍然是计算使用的数据点数。在上例中若程序末尾使用: xx=ifft(Y, N)，则得到采样时刻点上，信号x(t)的样本值。三、实验内容及要求实验项目： 给定采样频率51.2Hz及采样点数N=512，计算矩形函数 的振幅频谱，并与理论计算结果对比。A. 显然该信号x(t)是无限长的非周期信号，因此做FFT计算时必须先将信号x(t)截断为有限长度。令采样频率为fs，采样点数目N，则截断长度是：T0 = N / fs (即总的采样时间)因此截断长度和采样点数目N成正比。对于无限长的非周期信号，截断长度应尽可能的大，以接近实际信号，避免结果失真；如果是周期信号，则要求截断长度为信号周期的整数倍，以免出现频谱的“泄漏”。 若给定采样点数N=512，则时间采样序列可用向量t表示：t=(0:N-1)/fs，矩形函数x(t)的样本值可以使用MATLAB提供的符号函数sign（请使用help sign命令查询sign函数的定义）来表示：x=0.5-0.5*sign(t-1)，然后使用fft命令即可获得DFT计算结果。B. 根据(1)式不难算出上述信号x(t)的傅里叶变换的理论结果(精确值)：其振幅为：然后再根据(8)式即可绘出x(t)的振幅频谱，将