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数模复习资料第1章 决策分析1.1决策树决策分析是一种在不确定环境中对涉及决策的各种问题做出合理与系统决定的方法。随机数学是最重要的工具！期望值准则是我们做随机选择时的重要原则方差准则是我们做随机选择时的辅助手段n 理性决策者总是偏好收益高风险低的项目n 效用函数是递增的凹函数决策树(decision tree) 是组织和表示决策者所面临的各种决定和不确定问题的一个系统化的方法。决策树的重要要素 讲义P2 (要会画决策树)n 节点 决策节点 事件节点n 分枝求解决策树的方法 讲义P8n 预期货币值（expected money value）作为衡量的标准n 向后归纳法（backwards induction）向后归纳法的思想来源是动态规划求解决策树的程序过程 讲义 P11n 以决策树的最终分枝为起始点，对每个事件节点和每个决策节点进行评估，具体方法如下 对于每个事件节点，通过计算每个分枝的EMV与其概率的加权平均，计算该节点的EMV。 对于每个决策节点，通过选择具有最佳EMV节点发出的分枝，计算该节点的EMV。在决策点的上方写上数值，并通过在它们上画双杠的方法，划去那些低EMV的分枝n 所有节点评估完成后，求解决策树n 最优策略的EMV就是起始分枝计算的EMV。决策分析的一般方法概述 讲义 P17n 构造决策问题。列出所有必须做出的决定n 通过按时间和逻辑顺序放置决策节点和事件节点来构造决策树n 确定每个不确定事件及其每个可能结果的概率n 确定决策树的每个最终分枝的数值n 利用向后归纳方法求解决策树n 完成所有关键值的灵敏度分析生物影像公司的案例 P17 (见下页,需要学会做决策树)时间范围第2章 离散概率概率基础p 概率空间 (三元组): W: 样本空间 F: 事件域 P: 概率贝特朗悖论规范性完备性对于两两互不相容事件A1 ，A2，.可加性概率定律 (四个公式) 讲义 P51n 加法公式n 减法公式n 条件概率公式 乘法公式n 全概率公式 讲义P53设B1,Bn是有限或可数个概率不为0的事件构成完备事件组，则对于任意事件A，有第四公式的派生定律P (A/B)= P(A) P(AB)= P(A)*P(B)贝叶斯公式 设B1,Bn是有限或可数个概率不为0的事件构成完备事件组，则对于任意事件A，有 n 案例 全概率公式用甲，乙，丙个机床加工同一种零件，零件由甲、乙、丙机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各个机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求全部产品的合格率。如果抽得一个产品为合格品，该合格品为甲机床生产的概率？先验信息的重要性概率表 讲义 P54-59进行概率计算的一般方法n 定义问题中不确定特征的各种事件。n 对这些事件如何相互作用进行符号化，利用概率的语言建模n 合理地组织与表中各种事件概率有关的所有信息n 利用概率定律，计算问题中的不确定性特征事件的概率随机变量 讲义 P65离散型随机变量 连续型随机变量两点分布 n 掷硬币实验二项分布 讲义 P67XB(n,p)二项分布的性质n 二项分布是多个独立两点分布之和。n 二项分布的期望是np，方差为np(1-p)n 二项分布的众数接近npn 当np不是很大的时候，二项分布的极限逼近泊松分布一道有意思的概率题一旅游团共2500人，每人交保险12元，意外死亡的概率是千分之二，死一人保险公司赔2000元。问保险公司盈利的概率是多少？泊松分布性质n 均值和方差为参数ln 可加性n 间隔时间独立同分布第3章 连续型概率分布概率密度函数和累积分布函数1)概率密度函 P115均匀分布(Uniform distribution) P116如果X等可能地取值于分布区间为a到b之间的一个均匀分布。我们把这个表述记为XUa,b。X的概率密度函数如下 P117等待时间分布二项分布给我们的启发l 描述多次独立重复实验中“成功”发生的次数道尔顿钉板实验2累积分布函数 P118-120对于一个给定的数t,一个连续随机变量X的累积分布函数定义如下：F(t) = P (x=30）, 样本均值的期望值近似地服从均值是和标准离差为的正态分布。实例 4.1 NEXTnet P156区间估计 n 样本均值 是随机变量X 的概率分布均值的估计样本均值的分布 P (-1.96=Z=30，那么对于均值为的95%的置信区间为置信度的含义n 人们总是在一定的置信度下去做决策。每个人的谨慎程度不同n 决策树里的概率的敏感性分析可以帮助我们找到可靠的置信度区间估计的直观特征n 区间的中心是观测样本均值n 区间宽度随着样本容量增加而减少 （n无穷大，则为）n 样本标准离差越小，区间越精确 （S）区间估计的一般方法n 已知观测样本均值和观测样本标准离差n 查表得到c 值 P531 标准正态分布表n 置信度为的均值的区间估计为在以下情况下，C的取值是 =/100 P166当=90%时，c=1.645 计算公式（1-0.9）/2=0.05+0.9=0.95 C值看P531-532 表当=95%时，c=1.96 计算公式（1-0.95）/2=0.025+0.95=0.975当=98%时，c=2.326 计算公式（1-0.98）/2=0.01+0.98=0.99当=99%时，c=2.576 计算公式（1-0.99）/2=0.005+0.99=0.995小样本均值的区间估计n t分布概率密度函数小样本均值的置信区间 （n30） P 169首先，利用一个t分布表找出下列等式中c的数值=/100 其中，T服从一个自由度为k=(n-1)的t分布那么，/100的置信区间公式是：C值需看P533 表2实例 4.8 P169实验设计 P177假设我们将要构造一个具有一个容忍水平L的均值为的/100的置信区间，也就是说置信区间将由 构成，样本大小n是实例 4.12 P178练习 4.6 P193一名投资分析师想要估计由社会公共投资商投资于一个特定的共同基金的平均数目。选取15个社会公共投资商的投资组合组成一个随机样本。由这15名投资商投资于共同基金项目的观测样本均值是1132万美元，观测样本标准离差是440万美元。P 1691） 构造一个所有社会公共投资商投资于共同基金的平均数目的90%的置信区间2）为了估计所有社会公共投资商投资于共同基金的平均数目位于50万美元范围内，以及95%的置信水平，确定所要求的样本大小。第5章 仿真模拟仿真模拟随机数的产生均匀分布的随机数n 物理方法n Excel 随机数生成器离散分布的随机数n 步骤与法则1.将区间0,1分割为互不相交的若干小区间，每个小区间对应离散分布随机变量的一个可能的取值，而该小区间的长度等于随机变量取改值的概率。 2.利用随机数发生器产生一系列随机数，他们是0,1上均匀分布的随机数。 3.对产生的随机数系列中的每一个伪随机数值，分配给的数值与随机数位于的区间相对应。连续型随机变量随机数 一个连续型随机变量X的函数(Y=F(X)的分布是什么？ 利用随机数发生器产生一 0,1上均匀分布的随机数x。反解y书上实例 5.5 P217 219第6章 回归模型回归模型的本质就是通过少量的数据得出一般规律性的结论P 251抽样分布 画直方图线性分布 画散点图线性回归自然界中的线性关系F=ma 身高=足长*4+68cmn 线性回归模型的目标就是建立反映一个变量的变化与其它相关变量变化的具体公式n 我们将想要预测和分析的变量称为因变量，通常用大写的Y表示，决定因变量Y值的变量的集合称为自变量，用x表示。基于简单线性回归的预测书上实例 6.1 P251散点图n 散点图的启示Yt与Xt 之间似乎存在不精确的线性函数关系确定出一条直线来反映这一关系简单线性回归模型（一元回归） P252为了使回归直线能最好地反映数据对所描述的y与x之间的关系，就需要确定的值。如何确定的估计值为误差项，其数值是服从均值为0和某个（未知）标准离差为的相互独立的正态分布随机变量的观测值分别为截距和斜率P254的值被称为回归系数因变量的估计值或预测值是 = =1,2n残差值是：= =1,2n残差的平方和是这个“最佳”的回归直线就是选择使残差的平方和最小化的直线。最小二乘估计最小二乘法残差的平方和最小最小二乘估计结果由上述分析可以计算得到例6.1中如果模型成立，即可得回归直线：基于多元线性回归的预测n 在大多数管理问题中，因变量Y的影响因素可能是多种多样的n 因变量Y 作为多个自变量的线性函数被称为多元线性回归实例 6.2n 基于多个因素的销售额的预测，假设有三个独立的因素（广告支出，促销费用以及竞争对手的销售额）对销售额的估计有直接的影响。设Y 表示CKC公司的销售额，k表示模型中自变量的个数， x1 ,x2 , xk表示自变量。多元回归模型n k=3最小二乘法 P 260Min现在分析例6.2，我们考虑线性回归模型利用电子表格进行回归 P263n 操作步骤回归指标分析n 标准误差残差在得到回归直线之后，会有n 个观测值回归系数的决定因素（R2） P268n “线性回归模型效果怎样？”“模型合适吗”n 回归系数的决定因素（coefficient of determination）R2的第一个解释n 因变量Y 的观测值的总变化（total variation）n 自变量没有解释的变化部分 P269R2是由自变量的线性回归等式解释因变量Y 的观测值在总变化中的比例。R2的第二个解释n 模型An 残差平方和n 模型B对于模型A的改进度量 P273R2的意义n 一般来说， R2越高越好。n 有例外吗？检验回归模型n 回归模型的四大假设的检验n 线性 构造一张散点图来观察n 残差的正态性 画残差直方图 线性回归中的警告和问题n 增加过多自变量的说明n 数据范围之外的外推多重共线性虚拟变量的应用线性优化运筹学的主要内容 数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法规划问题（Programming）生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。规划通常解决下列两类问题：（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）线性规划问题的数学模型例 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？u 解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：线性规划的数学模型由三个要素构成怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。线性规划的一般形式矩阵形式线性规划问题的标准形式特点：(1) 目标函数求最大值(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零(3) 决策变量xj为非负。标准型转化 约束方程的转换：由不等式转换为等式。 变量 的变换可令第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50；第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数； 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;标准形式如下：u 线性规划求解求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。线性规划问题的求解方法下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。图解法用图解法求解线性规划问题单纯形法基本原理凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。单纯形法的计算步骤u 单纯形法的思路u 一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述案例7.2 P 337u 要回答的问题 为使盈利的贡献最大化，应该计划每天生产多少 件扳手和钳 子？ 根据这个计划对盈利的总贡献是多少？ 这个计划中，哪些资源是最关键的？ 练习 7.3 P409解：一般型目标： S LMax Z (10S+12L)St 10S+20L=1600 2S+3L=260 (S+L)/3=0, L=0标准型线性规划在管理中的应用u 解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。此问题最优解：x150， x220， x350， x40， x520， x610，一共需要司机和乘务员150人。u 2. 生产计划问题某厂生产、三种产品，都分别经A、B两道工序加工。设A工序可分别在设备A1和A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。已知产品可在A、B任何一种设备上加工；产品可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品只能在A2与B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。u 解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量。约束条件有：u 目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：带入数据整理得到：u 因此该规划问题的模型为：u 3. 套裁下料问题例：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。设按方案、下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：u 4. 配料问题例：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋），其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需要、又使总费用最省？u 解：设Xj 表示Bj 种食物用量Chapter2 对偶理论本章主要内容： 线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释影子价格 对偶单纯形法 线性规划的对偶模型1. 对偶问题的现实来源u 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？u 解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为： 反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么种机器的机时如何定价才是最佳决策？在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：u （1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。u （2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：u 把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发现一个有趣的现象。2. 原问题与对偶问题的对应关系 u （1）对称形式特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为号，变量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为号，变量非负.u 例2.1 写出线性规划问题的对偶问题解：首先将原问题变形为对称形式(2) 非对称型对偶问题若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对应关系写出非对称形式的对偶问题。u 例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.解： 原问题的对偶问题为例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如下表：对偶性质u 原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：u 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数值无界。性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。性质5 互补松弛性：设X0和Y0分别是P问题 和 D问题 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：其中：Xs、Ys为松弛变量性质5的应用：该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知Y求X或已知X求Y由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系：若Y0，则Xs必为0；若X0，则Ys必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。例2.4 已知线性规划的最优解是X=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y。解：写出原问题的对偶问题，即设对偶问题最优解为X(x1，x2 ，x3)T ,由互补松弛性定理可知，X和 Y满足：将Y带入由方程可知，y3y50，y41。y2=-20 x50又y4=10 x20将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：解方程组得：x1=-5,x3=-1, 所以原问题的最优解为X=(-5,0,-1)，最优值z=-12设对偶问题最优解为Y(y1，y2),由互补松弛性定理可知，X*和 Y*满足：即：解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：Y=(1,1)，最优值w=26。原问题与对偶问题解的对应关系小结判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？1）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划.2）原问题第i个约束是“”约束，则对偶变量yi0.3）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解.4）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解.5）原问题有多重解，对偶问题也有多重解.6）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解.7）原问题无最优解，则对偶问题无可行解.8）对偶问题不可行，原问题可能无界解.9）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解.10）原问题具有无界解，则对偶问题不可行.11）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解.12）若X*、Y*是原问题与对偶问题的最优解，则X*=Y*.敏感性分析假设得到了一个额外的1000磅的钢铁。钢铁约束的RHS值将由27变为28=27+1。一个约束的影子价格（shadow price） 是当该约束的值增加一个单位，而所有其它约束保持不变时的优化目标函数值发生变化的数量。影子价格的一般原则u 每个约束对应一个影子价格u 影子价格的单位u 影子价格的经济信息u 微观经济学理论叙述的影子价格影子价格的特点n 影子价格是对系统资源的一种内部最优估价，只有当系统达到最优状态时才可能赋予资源这种价值。n 影子价格的大小与系统的价值取向有关，并受系统状态变化的影响n 影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度。n 影子价格是一种边际价值。对偶问题的经济解释影子价格定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi （第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量yi*。u 1. 影子价格的数学分析：由对偶问题得基本性质可得：u 2. 影子价格的经济意义u 1）影子价格是一种边际价格在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的影子价格。即：u 2）影子价格是一种机会成本影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资