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供应链系统优化方法 邮箱 armyp Chapter1线性规划 LinearProgramming LP的数学模型图解法LP模型的应用 本讲主要内容 线性规划问题的数学模型 1 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排 使人力 物力等各种资源得到充分利用 获得最大的效益 这就是规划问题 线性规划通常解决下列两类问题 1 当任务或目标确定后 如何统筹兼顾 合理安排 用最少的资源 如资金 设备 原标材料 人工 时间等 去完成确定的任务或目标 2 在一定的资源条件限制下 如何组织安排生产获得最好的经济效益 如产品量最多 利润最大 线性规划问题的数学模型 例1 1某企业计划生产甲 乙两种产品 这些产品分别要在A B C D 四种不同的设备上加工 按工艺资料规定 单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示 企业决策者应如何安排生产计划 使企业总的利润最大 线性规划问题的数学模型 解 设x1 x2分别为甲 乙两种产品的产量 则数学模型为 线性规划问题的数学模型 2 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction约束条件Constraints 其特征是 1 问题的目标函数是多个决策变量的线性函数 通常是求最大值或最小值 2 问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式 怎样辨别一个模型是线性规划模型 线性规划问题的数学模型 目标函数 约束条件 3 线性规划数学模型的一般形式 简写为 线性规划模型的应用 一般而言 一个经济 管理问题凡是满足以下条件时 才能建立线性规划模型 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映 且为线性函数存在着多种方案要求达到的目标是在一定条件下实现的 这些约束可用线性等式或不等式描述 线性规划在管理中的应用 人力资源分配问题 例1 2某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示 设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班 并连续工作8小时 问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员 即能满足工作需要 又使配备司机和乘务人员的人数减少 线性规划在管理中的应用 解 设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数 此问题最优解 x1 50 x2 20 x3 50 x4 0 x5 20 x6 10 一共需要司机和乘务员150人 线性规划在管理中的应用 生产计划问题 例1 3某厂生产 三种产品 都分别经A B两道工序加工 设A工序可分别在设备A1和A2上完成 有B1 B2 B3三种设备可用于完成B工序 已知产品 可在A B任何一种设备上加工 产品 可在任何规格的A设备上加工 但完成B工序时 只能在B1设备上加工 产品 只能在A2与B2设备上加工 加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表 试安排最优生产计划 使该厂获利最大 线性规划在管理中的应用 线性规划在管理中的应用 解 设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量 约束条件有 线性规划在管理中的应用 目标是利润最大化 即利润的计算公式如下 带入数据整理得到 线性规划在管理中的应用 因此该规划问题的模型为 LINGO软件求解线性规划 LINGO软件求解线性规划 实际问题中的线性规划模型 大型煤炭企业生产和供给问题 PengHong jun ZhouMei hua ADynamicOptimizationModelofanintegratedCoalSupplyChainSystemandItsApplication MiningScienceandTechnology 2009 19 6 842 846 EI检索 供应链是一种新的企业组织形态和运营方式 包括从客户需求开始经过原材料供应 生产批发零售等环节 到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动 机电等供应物流运输客户市场原煤开配采洗选加工 配煤煤炭销售大型煤炭企业内部供应链物流 供应信息流资金流 需求信息流图1大型煤炭企业供应链框架 煤炭供应链中物流从上游向下游流动 资金流从下游向上游流动 而信息流的流动则是双向的 以上游供应企业作为大型煤炭企业原料供应商 以煤炭企业作为原煤及精煤生产商 再通过运输环节到达用户 形成以物流为主线 包括信息流及资金流的输入输出关系的煤炭供应链框架 如图1所示 图中包含原煤开配采 煤炭洗选加工 煤炭销售等节点并用实线框起来 为大型煤炭企业供给系统内部供应链 大型煤炭企业的原煤开采 煤炭洗选加工和客户均为多点 徐州矿务集团共11个矿井 其中9个矿井建有洗煤厂 各矿井生产情况如表1 该企业有5个主要客户 各客户需求情况见表2 煤炭企业除了追求整理利润外 还应该考虑客户满意度因素 特别是要尽量提高一些长期重要客户的满意度 以保证企业的可持续发展 影响煤炭企业客户满意度的因素主要有商品煤数量订单满足率 企业供给客户的商品煤质量等 请建立同时考虑利润和客户满意度的煤炭企业生产和供给的一般模型 并用模型对所给煤炭企业进行生产和供给决策 表徐州矿务集团各矿井生产情况表 表徐州矿务集团客户需求情况 令i为矿井序号 i 1 2 I j为选煤厂序号 j 1 2 J k为客户序号 k 1 2 K n为商品煤序号 n 1 2 N 不妨设主要洗选产品 精煤 序号为1 原煤序号为N 复杂煤炭供应链系统矿井节点分析 输入变量 为矿井i的原煤灰分 吨 为矿井i原煤生产能力 决策变量 吨 为矿井i原煤产量 原煤生产能力约束 复杂煤炭供应链系统洗煤厂节点分析 输入变量 为洗煤厂j生产的n种商品煤的灰分 吨 为选煤厂j洗配能力 为选煤厂j入洗原煤灰分 决策变量 吨 选煤厂j入洗原煤量 为矿洗煤厂j对n种商品煤的产率 洗煤厂洗选能力约束 煤厂主要洗选产品产率与入洗原煤灰分和其他洗选产品产率有负相关关系 可以通过洗煤厂历史洗煤数据 用多元线性回归法建立各洗煤厂主要洗选产品产出率模型 则 复杂煤炭供应链系统客户端需求分析用户对煤炭的需求 不仅是煤炭品种和数量的要求 而且还有煤炭产品质量的要求 随着煤炭行业市场竞争态势的变化和客户导向意识的增强 煤炭企业需要关注和满足煤炭用户多方面的需求 输入变量 吨 为客户k对n种商品煤需求量 元 吨 为客户k购买n种商品煤协议价格 为煤炭企业确定的对客户k的n种商品煤最低的订单满足率 为煤炭企业向客户k销售的n种商品煤灰分标准 复杂煤炭供应链系统物流分析 输入变量 表示外购的l种商品煤的灰分 吨 为煤矿企业供应链系统对外运输能力 吨 为矿井i运往选煤厂j的待洗原煤量 吨 为矿井i运往客户k的原煤量 吨 为洗煤厂j运往客户k的n商品煤数量 n 1 2 N 1 吨 为外购n种商品煤数量 吨 为外购n种商品煤运往客户k的数量 为运往客户k的外购煤数量 吨 企业销售给客户k的n种商品煤数量 决策变量 矿井原煤生产量公式 洗煤厂原煤入洗量公式 煤炭销售公式 外购煤公式 运输能力约束 客户需求数量约束 客户需求质量约束 灰分 复杂煤炭供应链资金流分析 元 吨 矿井i到选煤厂j单位重量运输成本 元 吨 矿井i到客户k单位重量运输成本 元 吨 选煤厂j到客户k单位重量运输成本 元 吨 为外购n种商品煤报价 元 吨 外购煤到客户k的单位重量运输成本 元 吨 为矿井i生产单位原煤成本 元 吨 为选煤厂j选洗单位原煤成本 输入变量 生产成本 运输成本 外购煤成本 煤炭销售收入 煤炭企业供应链系统资金流净值 利润 客户端是煤炭供应链系统信息流的来源 是煤炭企业供应链系统的决策的依据 煤炭企业决策目标除了系统经济利润最大化外 还要考虑客户满意度目标 利于企业可持续发展 论文通过确定不同客户相应的最低订单满足率和最低质量保证的方法 建立煤炭供应链系统线性规划决策模型 求解结果 根据该企业供应链原煤生产 洗选加工 运输情况以及客户需求等信息 建立该企业的供应链系统的动态优化模型 其中决策变量300余个 LINGO软件是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具 用LINGO软件求解该模型 得出企业原煤生产 洗煤加工 运输和销售等系列决策 表中列出了该矿务集团内部供应链原煤生产和洗选生产等优化决策方案 表徐州矿务集团内部供应链系统优化决策 表徐州矿务集团销售优化决策 Chapter2运输规划 TransportationProblem 运输规划问题的数学模型运输问题的应用 本章主要内容 运输规划问题的数学模型 例2 1某公司从两个产地A1 A2将物品运往三个销地B1 B2 B3 各产地的产量 各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示 问 应如何调运可使总运输费用最小 运输规划问题的数学模型 解 产销平衡问题 总产量 总销量 500设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量 得到下列运输量表 MinC 6x11 4x12 6x13 6x21 5x22 5x23s t x11 x12 x13 200 x21 x22 x23 300 x11 x21 150 x12 x22 150 x13 x23 200 xij 0 i 1 2 j 1 2 3 运输规划问题的数学模型 运输问题的一般形式 产销平衡 A1 A2 Am表示某物资的m个产地 B1 B2 Bn表示某物质的n个销地 ai表示产地Ai的产量 bj表示销地Bj的销量 cij表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价 设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量 得到下列一般运输量问题的模型 运输规划问题的数学模型 变化 1 有时目标函数求最大 如求利润最大或营业额最大等 2 当某些运输线路上的能力有限制时 在模型中直接加入约束条件 等式或不等式约束 3 产销不平衡时 可加入假想的产地 销大于产时 或销地 产大于销时 定理 设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题 则基变量数为m n 1 运输问题的应用 求极大值问题目标函数求利润最大或营业额最大等问题 运输问题的应用 例2 2下列矩阵C是Ai I 1 2 3 到Bj的吨公里利润 运输部门如何安排运输方案使总利润最大 运输问题的应用 产销不平衡的运输问题当总产量与总销量不相等时 称为不平衡运输问题 这类运输问题在实际中常常碰到 当产大于销时 即 数学模型为 运输问题的应用 由于总产量大于总销量 必有部分产地的产量不能全部运送完 必须就地库存 即每个产地设一个仓库 假设该仓库为一个虚拟销地Bn 1 bn 1作为一个虚设销地Bn 1的销量 即库存量 各产地Ai到Bn 1的运价为零 即Ci n 1 0 i 1 m 则平衡问题的数学模型为 具体求解时 只在运价表右端增加一列Bn 1 运价为零 销量为bn 1即可 运输问题的应用 当销大于产时 即 数学模型为 由于总销量大于总产量 故一定有些需求地不完全满足 这时虚设一个产地Am 1 产量为 运输问题的应用 销大于产化为平衡问题的数学模型为 具体计算时 在运价表的下方增加一行Am 1 运价为零 产量为am 1即可 运输问题的应用 例2 3求下列表中极小化运输问题的最优解 因为有 运输问题的应用 所以是一个产大于销的运输问题 表中A2不可达B1 用一个很大的正数M表示运价C21 虚设一个销量为b5 180 160 20 Ci5 0 i 1 2 3 4 表的右边增添一列 得到新的运价表 运输问题的应用 下表为计算结果 可看出 产地A4还有20个单位没有运出 运输问题的应用 3 生产与储存问题 例2 4某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10 15 25 20台同一规格的柴油机 已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表 如果生产出来的柴油机当季不交货 每台每积压一个季度需储存 维护等费用0 15万元 试求在完成合同的情况下 使该厂全年生产总费用为最小的决策方案 运输问题的应用 解 设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机数目 那么应满足 交货 x11 10生产 x11 x12 x13 x14 25x12 x22 15x22 x23 x24 35x13 x23 x33 25x33 x34 30 x14 x24 x34 x44 20 x44 10 目标 Minf 10 8x11 10 95x12 11 1x13 11 25x14 11 1x22 11 25x23 11 4x24 11 0 x33 11 15x34 11 3x44把第i季度生产的柴油机数目看作第i个生产厂的产量 把第j季度交货的柴油机数目看作第j个销售点的销量 构造下列产销平衡问题 运输问题的应用 由于产大于销 加上一个虚拟的销地D 化为平衡问题 即可应用表上作业法求解 运输问题的应用 该问题的运输平衡表 运输问题的应用 最优生产决策如下表 最小费用z 773万元 下面给出一些例题 可作为建模的练习 例2 5石家庄北方研究院有一 二 三 三个区 每年分别需要用煤3000 1000 2000吨 由河北临城 山西盂县两处煤矿负责供应 价格 质量相同 供应能力分别为1500 4000吨 运价如下表 由于需大于供 经院研究决定一区供应量可减少0 400吨 二区必须满足需求量 三区供应量不少于1700吨 试求总费用为最低的调运方案 运输问题例题 运输问题例题 解 根据题意 作出产销平衡与运价表 取M代表一个很大的正数 其作用是强迫相应的x31 x33 x34取值为0 LINGO软件求解运输规划 LINGO软件求解运输规划 Chapter3整数规划 IntegerProgramming 整数规划的特点及应用 本章主要内容 整数规划的特点及应用 整数规划 简称 IP 要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划 不考虑整数条件 由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题 若该松弛问题是一个线性规划 则称该整数规划为整数线性规划 整数线性规划数学模型的一般形式 整数规划的特点及应用 整数线性规划问题的种类 纯整数线性规划 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划 混合整数线性规划 决策变量中有一部分必须取整数值 另一部分可以不取整数值的整数线性规划 0 1型整数线性规划 决策变量只能取值0或1的整数线性规划 如 1 变量是人数 机器设备台数或产品件数等都要求是整数2 对某一个项目要不要投资的决策问题 可选用一个逻辑变量x 当x 1表示投资 x 0表示不投资 3 人员的合理安排问题 当变量xij 1表示安排第i人去做j工作 xij 0表示不安排第i人去做j工作 逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量 整数规划的特点及应用 整数规划的特点及应用 整数规划的典型例子 例3 1工厂A1和A2生产某种物资 由于该种物资供不应求 故需要再建一家工厂 相应的建厂方案有A3和A4两个 这种物资的需求地有B1 B2 B3 B4四个 各工厂年生产能力 各地年需求量 各厂至各需求地的单位物资运费cij 见下表 工厂A3或A4开工后 每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元 现要决定应该建设工厂A3还是A4 才能使今后每年的总费用最少 整数规划的特点及应用 解 这是一个物资运输问题 特点是事先不能确定应该建A3还是A4中哪一个 因而不知道新厂投产后的实际生产物资 为此 引入0 1变量 再设xij为由Ai运往Bj的物资数量 单位为千吨 z表示总费用 单位万元 则该规划问题的数学模型可以表示为 整数规划的特点及应用 混合整数规划问题 整数规划的特点及应用 例3 2现有资金总额为B 可供选择的投资项目有n个 项目j所需投资额和预期收益分别为aj和cj j 1 2 n 此外由于种种原因 有三个附加条件 若选择项目1 就必须同时选择项目2 反之不一定项目3和4中至少选择一个 项目5 6 7中恰好选择2个 应该怎样选择投资项目 才能使总预期收益最大 整数规划的特点及应用 解 对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能 因此分别用0和1表示 令xj表示第j个项目的决策选择 记为 投资问题可以表示为 整数规划的特点及应用 例3 3指派问题或分配问题 人事部门欲安排四人到四个不同岗位工作 每个岗位一个人 经考核四人在不同岗位的成绩 百分制 如表所示 如何安排他们的工作使总成绩最好 整数规划的特点及应用 设 数学模型如下 要求每人做一项工作 约束条件为 整数规划的特点及应用 每项工作只能安排一人 约束条件为 变量约束 整数规划与LINGO软件 整数规划与LINGO软件 整数规划与LINGO软件 例3 4 某人有一背包可以装10公斤重 0 025m3的物品 他准备用来装甲 乙两种物品 每件物品的重量 体积和价值如表4 1所示 问两种物品各装多少件 所装物品的总价值最大 表4 1 解 设甲 乙两种物品各装x1 x2件 则数学模型为 4 1 整数规划应用 例3 5 在例4 10中 假设此人还有一只旅行箱 最大载重量为12公斤 其体积是0 02m3 背包和旅行箱只能选择其一 建立下列几种情形的数学模型 使所装物品价值最大 1 所装物品不变 2 如果选择旅行箱 则只能装载丙和丁两种物品 价值分别是4和3 载重量和体积的约束为 整数规划应用 解 此问题可以建立两个整数规划模型 但用一个模型描述更简单 引入0 1变量 或称逻辑变量 yi 令 i 1 2分别是采用背包及旅行箱装载 整数规划应用 1 由于所装物品不变 式 4 1 约束左边不变 整数规划数学模型为 整数规划应用 2 由于不同载体所装物品不一样 数学模型为 整数规划应用 例3 6 企业计划生产4000件某种产品 该产品可自己加工 外协加工任意一种形式生产 已知每种生产的固定费用 生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量 件 限制如表4 2所示 怎样安排产品的加工使总成本最小 表4 2 整数规划应用 解 设xj为采用第j j 1 2 3 种方式生产的产品数量 生产费用为 整数规划应用 式中kj是固定成本 cj是单位产品成本 设0 1变量yj 令 数学模型为 上式中是处理xj与yj一对变量之间逻辑关系的特殊约束 当xj 0时yj 1 当xj 0时 为使Z最小化 有yj 0 整数规划应用 Chapter4目标规划 Goalprogramming 目标规划问题及其数学模型目标规划应用举例 本章主要内容 目标规划问题及其数学模型 问题的提出 目标规划是在线性规划的基础上 为适应经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支 由于现代化企业内专业分工越来越细 组织机构日益复杂 为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作 产生了目标管理这种先进的管理技术 目标规划是实行目标管理的有效工具 它根据企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序 考虑现有资源情况 分析如何达到规定目标或从总体上离规定目标的差距为最小 线性规划模型的特征是在满足一组约束条件下 寻求一个目标的最优解 最大值或最小值 而在现实生活中最优只是相对的 或者说没有绝对意义下的最优 只有相对意义下的满意 1978年诺贝尔经济学奖获得者 西蒙 H A Simon 美国卡内基 梅隆大学 1916 教授提出 满意行为模型要比最大化行为模型丰富得多 否定了企业的决策者是 经济人 概念和 最大化 行为准则 提出了 管理人 的概念和 令人满意 的行为准则 对现代企业管理的决策科学进行了开创性的研究 目标规划问题及其数学模型 目标规划问题及其数学模型 例4 1某企业计划生产甲 乙两种产品 这些产品分别要在A B C D四种不同设备上加工 按工艺文件规定 如表所示 问该企业应如何安排计划 使得计划期内的总利润收入为最大 目标规划问题及其数学模型 解 设甲 乙产品的产量分别为x1 x2 建立线性规划模型 其最优解为x1 4 x2 2 z 14元 目标规划问题及其数学模型 但企业的经营目标不仅仅是利润 而且要考虑多个方面 如 力求使利润指标不低于12元 考虑到市场需求 甲 乙两种产品的生产量需保持1 1的比例 C和D为贵重设备 严格禁止超时使用 设备B必要时可以加班 但加班时间要控制 设备A即要求充分利用 又尽可能不加班 要考虑上述多方面的目标 需要借助目标规划的方法 目标规划问题及其数学模型 线性规划模型存在的局限性 1 要求问题的解必须满足全部约束条件 实际问题中并非所有约束都需要严格满足 2 只能处理单目标的优化问题 实际问题中 目标和约束可以相互转化 3 线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位 但现实问题中 各目标的重要性即有层次上的差别 同一层次中又可以有权重上的区分 4 线性规划寻求最优解 但很多实际问题中只需找出满意解就可以 目标规划问题及其数学模型 目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的局限性 1 设置偏差变量 用来表明实际值同目标值之间的差异 偏差变量用下列符号表示 d 超出目标的偏差 称正偏差变量d 未达到目标的偏差 称负偏差变量 正负偏差变量两者必有一个为0 当实际值超出目标值时 d 0 d 0 当实际值未达到目标值时 d 0 d 0 当实际值同目标值恰好一致时 d 0 d 0 故恒有d d 0 目标规划问题及其数学模型 2 统一处理目标和约束 对有严格限制的资源使用建立系统约束 数学形式同线性规划中的约束条件 如C和D设备的使用限制 对不严格限制的约束 连同原线性规划建模时的目标 均通过目标约束来表达 1 例如要求甲 乙两种产品保持1 1的比例 系统约束表达为 x1 x2 由于这个比例允许有偏差 当x1x2时 出现正偏差d 即 x1 d x2或x1 x2 d 0 目标规划问题及其数学模型 正负偏差不可能同时出现 故总有 x1 x2 d d 0 若希望甲的产量不低于乙的产量 即不希望d 0 用目标约束可表为 若希望甲的产量低于乙的产量 即不希望d 0 用目标约束可表为 若希望甲的产量恰好等于乙的产量 即不希望d 0 也不希望d 0用目标约束可表为 目标规划问题及其数学模型 3 设备B必要时可加班及加班时间要控制 目标约束表示为 2 力求使利润指标不低于12元 目标约束表示为 4 设备A既要求充分利用 又尽可能不加班 目标约束表示为 目标规划问题及其数学模型 3 目标的优先级与权系数 在一个目标规划的模型中 为达到某一目标可牺牲其他一些目标 称这些目标是属于不同层次的优先级 优先级层次的高低可分别通过优先因子P1 P2 表示 对于同一层次优先级的不同目标 按其重要程度可分别乘上不同的权系数 权系数是一个个具体数字 乘上的权系数越大 表明该目标越重要 现假定 第1优先级P1 企业利润 第2优先级P2 甲乙产品的产量保持1 1的比例第3优先级P3 设备A B尽量不超负荷工作 其中设备A的重要性比设备B大三倍 目标规划问题及其数学模型 上述目标规划模型可以表示为 目标规划问题及其数学模型 目标规划数学模型的一般形式 达成函数 目标约束 其中 gk为第k个目标约束的预期目标值 和为pl优先因子对应各目标的权系数 例4 2 最优生产计划问题 某企业在计划期内计划生产甲 乙 丙三种产品 这些产品分别需要要在设备A B上加工 需要消耗材料C D 按工艺资料规定 单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表5 1所示 已知在计划期内设备的加工能力各为200台时 可供材料分别为360 300公斤 每生产一件甲 乙 丙三种产品 企业可获得利润分别为40 30 50元 假定市场需求无限制 企业决策者应如何安排生产计划 使企业在计划期内总的利润收入最大 目标规划问题及其数学模型 表5 1产品资源消耗 目标规划问题及其数学模型 最优解X 50 30 10 Z 3400 目标规划问题及其数学模型 现在决策者根据企业的实际情况和市场需求 需要重新制定经营目标 其目标的优先顺序是 1 利润不少于3200元 2 产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1 5 3 提高产品丙的产量使之达到30件 4 设备加工能力不足可以加班解决 能不加班最好不加班 5 受到资金的限制 只能使用现有材料不能再购进 解 设甲 乙 丙产品的产量分别为x1 x2 x3 如果按线性规划建模思路 最优解实质是求下列一组不等式的解 目标规划问题及其数学模型 目标规划问题及其数学模型 通过计算不等式无解 即使设备加班10小时仍然无解 在实际生产过程中生产方案总是存在的 无解只能说明在现有资源条件下 不可能完全满足所有经营目标 这种情形是按事先制定的目标顺序逐项检查 尽可能使得结果达到预定目标 即使不能达到目标也使得离目标的差距最小 这就是目标规划的求解思路 对应的解称为满意解 下面建立例4 1的目标规划数学模型 目标规划问题及其数学模型 设d1 未达到利润目标的差值 d1 为超过目标的差值 当利润小于3200时 d1 且d1 0 有40 x1 30 x2 50 x3 d1 3200成立当利润大于3200时 d1 且d1 有40 x1 30 x2 50 x3 d1 3200成立当利润恰好等于3200时 d1 且d1 0 有40 x1 30 x2 50 x3 3200成立实际利润只有上述三种情形之一发生 因而可以将三个等式写成一个等式 40 x1 30 x2 50 x3 d1 d1 3200 目标规划问题及其数学模型 2 设分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变量 则产量比例尽量不超过1 5的数学表达式为 3 设d3 d 分别为品丙的产量未达到和超过30件的偏差变量 则产量丙的产量尽可能达到30件的数学表达式为 1 利润不少于3200理解为达到或超过3200 即使不能达到也要尽可能接近3200 可以表达成目标函数 d1 取最小值 则有 目标规划问题及其数学模型 4 设d4 d4 为设备A的使用时间偏差变量 d5 d5 为设备B的使用时间偏差变量 最好不加班的含义是d4 和d5 同时取最小值 等价于d4 d5 取最小值 则设备的目标函数和约束为 5 材料不能购进表示不允许有正偏差 约束条件为小于等于约束 目标规划问题及其数学模型 式中 Pj j 1 2 3 4 称为目标的优先因子 第一目标优于第二目标 第二目标优于第三目标等等 其含义是按P1 P2 的次序分别求后面函数的最小值 由于目标是有序的并且四个目标函数非负 因此目标函数可以表达成一个函数 目标规划问题及其数学模型 则问题的目标规划数学模型为 目标规划问题及其数学模型 满意解 约束分析 1 目标规划数学模型的形式有 线性模型 非线性模型 整数模型 交互作用模型等 2 一个目标中的两个偏差变量di di 至少一个等于零 偏差变量向量的叉积等于零 d d 0 3 一般目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构成的函数求最小值 按多个目标的重要性 确定优先等级 顺序求最小值 说明 目标规划问题及其数学模型 4 按决策者的意愿 事先给定所要达到的目标值当期望结果不超过目标值时 目标函数求正偏差变量最小 当期望结果不低于目标值时 目标函数求负偏差变量最小 当期望结果恰好等于目标值时 目标函数求正负偏差变量之和最小 目标规划问题及其数学模型 5 由目标构成的约束称为目标约束 目标约束具有更大的弹性 允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差 如例1中的5个等式约束 如果决策者要求结果一定不能有正或负的偏差 这种约束称为系统约束 如例1的材料约束 6 目标的排序问题 多个目标之间有相互冲突时 决策者首先必须对目标排序 排序的方法有两两比较法 专家评分等方法 构造各目标的权系数 依据权系数的大小确定目标顺序 目标规划问题及其数学模型 7 合理的确定目标数 目标规划的目标函数中包含了多个目标 决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标 如果同一目标中还想分出先后次序 可以赋予不同的权系数 按系数大小再排序 例如 在例1中要求设备B的加班时间不超过设备A的时间 目标函数可以表达为 表示在中先求最小再求最小 目标规划问题及其数学模型 8 多目标决策问题 多目标决策研究的范围比较广泛 在决策中 可能同时要求多个目标达到最优 例如 企业在对多个项目投资时期望收益率尽可能最大 投资风险尽可能最小 属于多目标决策问题 本章的目标规划尽管包含有多个目标 但还是按单个目标求偏差变量的最小值 目标函数中不含有决策变量 目标规划只是多目标决策的一种特殊情形 目标规划问题及其数学模型 9 目标规划的一般模型 设xj j 1 2 n 为决策变量 式中pk为第k级优先因子 k 1 2 K wkl wkl 为分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数 gl为目标的预期目标值 l 1 L 4 1b 为系统约束 4 1c 为目标约束 目标规划问题及其数学模型 例4 3 车间计划生产I II两种产品 每种产品均需经过A B两道工序加工 工艺资料如表4 3所示 1 车间如何安排生产计划 使产值和利润都尽可能高 2 如果认为利润比产值重要 怎样决策 表5