基于ARMA模型的功率谱估计.ppt

基于ARMA模型的功率谱估计 2012 12 08 目录 一 ARMA过程基本理论二 平稳ARMA过程功率谱三 平稳ARMA过程谱估计四 AR模型辨识五 算例 目录 一 ARMA过程基本理论二 平稳ARMA过程功率谱三 平稳ARMA过程谱估计四 AR模型辨识五 算例 ARMA过程定义 将广义的平稳过程x n 表示成一个输入序列u n 白噪声 激励线性系统H z ARMA模型 的输出 由H z 的输出功率谱来估计x n 的功率谱 ARMA过程定义 离散随机过程服从线性差分方程 为离散白噪声 则称为ARMA过程 自回归 autoregressive 滑动平均 movingaverage 过程 AR阶数 AR参数 MA阶数 MA参数 ARMA过程定义 ARMA过程定义 ARMA模型描述的线性时不变 LTI 系统传递函数 ARMA过程定义 冲击响应系数 满足ARMA模型的条件 1 冲激响应系数必须绝对可求和 系统稳定 2 A z 和B z 无公共因子 p q唯一 3 系统是物理可实现的 因果系统 极点的作用 决定系统的稳定性和因果性因果性 称x n 是e n 的因果函数 若即因果系统要求极点在单位圆以内 A z 的根 z 1 零点部分 极点部分 ARMA过程性质 零点的作用 决定系统的可逆性 即可逆性 称e n 是x n 的可逆函数 若 1 存在序列 并满足 2 可逆系统的稳定 可逆性条件 ARMA过程性质 特例一 MA过程 有限冲激响应 FIR 系统 ARMA过程特例 MA过程 滑动平均 特例二 AR过程 中含有的无数多项 无限冲激响应 IIR 系统 ARMA过程特例 AR过程 自回归 ARMA过程的Wold分解定理 Wold分解定理 任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程 可以表示成唯一的 阶数有可能无穷大的AR过程 同样 任何一个ARMA或AR过程也可以表示成一个阶数可能无穷大的MA过程 目录 一 ARMA过程基本理论二 平稳ARMA过程功率谱三 平稳ARMA过程谱估计四 AR模型辨识五 算例 则功率谱其中 ARMA过程功率谱定义 ARMA过程功率谱定义 证明设是零均值离散时间平稳过程 取ARMA过程则 对上式两边取数学期望计算自相关函数 ARMA过程功率谱定义 由上式计算功率谱密度函数取为白噪声 则有 白噪声功率谱密度为常数 固有 目录 一 ARMA过程基本理论二 平稳ARMA过程功率谱三 平稳ARMA过程谱估计四 AR模型辨识五 算例 Wold定理表明 一个ARMA模型可以用一个阶数足够大的AR模型来近似 相比于ARMA模型不仅需要确定AR阶数和MA阶数 还需要估计AR参数和MA参数 MA参数估计必须求解非线性方程组 AR模型相对简单 故工程上常用AR模型作近似 ARMA功率谱的线性估计方法的基本思路都是首先解线性方程估计出AR参数 再通过一定的方法 将功率谱表达式转换成只需要AR参数 而不需要MA具体参数值的计算表达式 估计方法 估计方法 AR过程的实现方法 ARMA过程的实现方法 定阶p q 估计AR MA参数 功率谱计算 将ARMA功率谱密度分解为两部分之和 线性化方法一 Cadzow谱估计子 其中 取 另一方面功率谱可做如下类似分解 其中 取 线性化方法一 Cadzow谱估计子 可以得到 从而可以计算ARMA模型的功率谱 线性化方法二 Kaveh谱估计子 将ARMA功率谱密度公式作如下变形 为了保证上式中第二个等号相等 有 可以看出 具有对称性 即 从上式中第三个等式 有 线性化方法二 Kaveh谱估计子 比较上式两边同幂次项的系数 可以得到 从而可以计算ARMA模型的功率谱 目录 一 ARMA过程基本理论二 平稳ARMA过程功率谱三 平稳ARMA过程谱估计四 AR模型辨识五 算例 AR模型阶数确定 FPE FinalPredictionError 准则函数AIC AnInformationCriterion 准则函数MDL MinimumDescriptionLength 准则函数在各自准则取得最小值时的模型为适用模型为AR模型阶数 为激励方差 为样本点数 赤池 日本 1969 赤池 日本 1974 Rissanen 芬兰 1983 AR模型参数估计 ARMA过程可以表示为 其自相关函数为 由白噪声 有 因此 可得 AR模型参数估计 由ARMA过程的定义式 有 从而可以得到下式 注意 对于一个ARMA过程而言 其MA参数在q阶以上为零 即有 ARMA过程的自相关函数可总结为如下结构 式中 p和q分别是AR和MA的阶数 ai和bj分别是AR参数和MA参数 r k 是输入信号的自相关函数 h是ARMA模型的参数 当h下标小于0时 h均取零 该式是很多AR MA 过程确定AR系数估计器的基础 AR模型参数估计 解上述方程 就可以求出功率谱计算公式中的所需参数 进而求出功率谱 对于该方程 可以采用直接解法 也可以采用Levinson Durbin或Delsarte Genin等阶递推算法来减小计算量 AR模型参数估计 Yule Walker方法 AR模型参数估计 最小二乘方法 AR模型参数估计 最小二乘方法 取目标函数 求解方程组 可得 令 即可确定AR模型参数 引申 当同时考虑A和b二者的误差或扰动时 可获得AR参数估计的总体最小二乘法 目录 一 ARMA过程基本理论二 平稳ARMA过程功率谱三 平稳ARMA过程谱估计四 AR模型辨识五 算例 算例 1 利用matlab自带的计算函数 实现了对信号的AR功率谱估计 2 利用matlab自带的AR模型参数计算函数 结合Yule Walker方程 实现了对信号的功率谱估计 3 利用Yule Walker方法 首先对ARMA模型的AR参数进行计算 并利用Levinson Durbin算法实现对MA参数的估计 完成对信号的功率谱估计 4 利用Yule Walker方法 首先对ARMA模型的AR参数进行计算 并利用Kaveh谱估计子算法 实现对信号的功率谱估计 算例 估计信号如下 x cos 2 pi 40 n 3 cos 2 pi 90 n randn size n 采样频率 Fs 1024傅里叶变换数 nfft 512 算例1 ARmatlab各种自带函数 算例1ARmatlab自带函数 可以看出利用matlab的自带函数 各种估计方法所得的结果非常接近接下来我们就考察AR参数的不同对估计结果的影响了 有了上一结论 我们可以只采用一种算法来进行不同AR阶数的估计比较即可 算例1ARmatlab自带函数 AR阶数的选取对于估计的结果又一定的影响 算例2ARmatlab确定参数自解方程