讲义：截长补短法.docx

截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。例1：在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系 方法一（好想不好证） 方法二（好证不好想） 例2、正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。求证：EF=DE+BF 变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 变形c正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？ 变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30。AD=，求AEF的面积 例3、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。求证：AC/2=AD-EO 加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。过E作EFMN于F,请问MN、AD、EF有什么数量关系？ 例4、如图，在梯形ABCD中，ADBC，C=90，E为CD的中点，EFAB交BC于点F（1）求证：BF=AD+CF；（2）当AD=1，BC=7，且BE平分ABC时，求EF的长 例5、已知梯形ABCD中，ABCD，BDAC于E，AD=BC，AC=AB，DFAB于F，AC、DF相交于DF的中点O（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OHGC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE变形1如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB=450，CD=2，BDCD。过点C作CEAB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF。变形2 已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M点F在线段ME上，且满足CFAD，MFMA（1）若MFC120，求证：AM2MB；（2）求证：MPB90 FCM 等腰三角形专题一、知识点复习 1. 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 （1）该定理的作用：是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。 （2）注意：该定理不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等。因为在没有判定出它是等腰三角形以前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”。 （3）等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理 2. 等腰三角形判定定理的推论 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 说明： （1）推论1和推论2是等边三角形的判定定理，其中推论2中的60角可以是顶角，也可以是底角。 （2）推论3是由等边三角形的性质推出的关于直角三角形的一个性质，它反映了直角三角形中边与角之间的关系。 注意：推论3的大前提是：“在直角三角形中”。在证题时，如果只知道一个三角形有一个角为30，那么说这个角的对边等于邻边的一半就是错误的。在证题时，如果只知道一个三角形中的一角所对的边等于另一边的一半，那么说这个角等于30，这得三角形是直角三角形也是错误的。 3. 等边三角形的判定方法 （1）运用定义：三条边相等 （2）三个角相等 （3）有一个角是60的等腰三角形二、善于总结解题规律 规律1：经过等腰三角形一腰上的点作底边平行线分得三角形ADE为等腰三角形。经过等腰三角形腰上一点作另一腰的平行线分得BDF为等腰三角形。如图所示，AB=AC，DE/BC，则ADE为等腰三角形。DF/AC，则BDF为等腰三角形。 规律2：将图中的等腰三角形换成等边三角形，则ADE、BDF均为等边三角形。 规律3：如果一个三角形有一个角为30，则应想办法将30角放在一个Rt内；如果一个三角形有一个角为60，则应想办法构造等边三角形。 以上规律的总体思路是规律4：有角平分线或中点时，常用到的辅助线 （1）在角的两边截相等的线段，构造全等三角形； （2）过角平分线上一点向角两边作垂线； （3）如有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构成等腰三角形； （4）有中线或有以线段中点为端点的线段时，常加倍它们，构造全等三角形。作业1、如图所示，BD=DC，BF交AD，AC于E、F，若AF=EF，求证：BE=AC。2、如图所示，求证：。3、已知：中，A108，ABAC，BD平分ABC。求证：BCABCD 4、如图，已知ABC中，E是AB