2009年莫斯科大学数学力学系入学考试试题与解答.pdf

2 0 1 0年 第 9期 中学数 学 月刊 4 7 2 0 0 9 年莫斯科大学数学力学系兀学考i g i i 题与觎答 郑元 禄译 福 建省 泉 州 市第五 中学3 6 2 0 0 0 第 1卷 5月 2 1日 笔试题 1 假设变量 z使下列所示 函数有意义 并使 其 中至少 有 一个 函数 变为 0 一 l 1 2 4 x一1 7 x y a r c c os x 一 2 x 1 y l o g3 z 求 z的一 切值 2 在捕 鱼后 波 里 斯 发 现 自 己 的水 桶 可 放 不 多于 1 0 0条 鱼 中 的鲫 鱼 比安 得烈 少 2 5 但 是 安得 烈 捕 到 的 其 他 鱼 比波 里 斯 少 2 5 如 果 知 道安得 烈 捕 的鱼 数 量是他 们两 人 捕 的鱼 总数量 的 5 5 求 安得 烈捕 的鱼 数量 3 一个 半 径 为 2 圆 心在 等 腰 三 角形 底 边 的 圆 与它 的两腰 相切 把 一 个 切 点 与底 边 相 对 顶 点 连成一条线段 这条线段被底边上的高分成长度 之 比为 4 3的两 部分 从 顶点 算起 求 这个 三角 1 二 百 干 二 可 百 一 1 2 1 百 4 一 2 z 即当 一 z 时 三角形 面积最 大 最大值是 z z 说 明 本题的解法较多 请读者思考其他解法 2 练 习题 1 如 图 8 设 d e 是 aa bc 的 边 ab 上 的 两点 已知 acd一 bce ac 一1 4 ad 一7 ab 一 2 8 ce 一 1 2 求 b c 2 0 0 9年江苏省数 学竞赛试题 2 在 aa bc 中 c s o i n s a 一 2 且 aabc 的 周 长 si n a 为 l 2 求 aabc 面 积 的最 大 值 2 0 0 0年 河北省数 学竞赛 试题 图 8 3 若 a b c 的三个 内角 a b c的对边 分别为 n b c 且 满 足 n 6一 t a c t a n a b t a n b 证明 aa bc是 等 腰三角形 第 8届 i mo试题 形 的面积 4 假 设 满足 不 等式 1 其 中 a是方程 y 2 y 4 y 一 1的根 求 在区间 1 9 2 9 上的一切整数值 口试题 5 工 叙述 并证 明正 弦 和差 化 积 公 式 余 弦 和差 化积 公式 解 方程 c o s 4 x s in f 2 一 嚣 一 s in 3 x 其 中 a是 这样 的最小 两位 自然数 使得将 它写 在数 2 o 0 9 2 0 0 9的右边 时 得 出的十位 数可被 3 6整除 6 一个 四边 形 的最大 边 为 3 最 小边 为 1 如 果 已知 四边形 所有 4个 内角 的 正 切彼 此 相 等 求 它 的其余 两边 4 设 a d b e和 c f分别 为 aa b c 的内角平分线 点 d e f分别是 角平分 线与对 应边 的 交点 如果 e d f 一 9 o 求 b ac的所有可能值 1 9 8 7 年 美国数 学奥林 匹克 试 题 5 在 a b c中 b c边上的高ad一 1 2 a的平 分线ae 一 1 3 设 1 3 12边上 的中线 af m 问 m在什么范 围内取 值 时 a分别为锐角 直 角 钝角 1 9 8 6年 中国数 学奥 林 匹克 试 题 6 在 a bc中 记 b c一 口 c a b a b c 若 9 n 9 6 2 1 9 c 一 o 求 的值 1 9 9 9 年全 国高中数 学 联 赛 试 题 7 在非直角 a b c中 边长 n b c 满 足 c x b a 1 求 a n ta n 导 2 是否存在 函数 使得对于一切满足条件的 代数 式 恒 为定值 若存在 请 给出一个满 足条件的 厂 a 并 证 明之 若 不存 在 请 给 出一个 理 由 2 0 0 4年 河 南 省 数 学 竞 赛 试 题 8 在非钝角 aa b c中 a b a c b一 4 5 o j分别是 aa bc的外 心 和 内心 且 bo i a b a c 求 s i n a 2 0 0 0年 中国数学奥林匹克试题 4 8 中学数学月刊 2 0 1 0年第 9期 第 2卷 6月 2 2日 笔试 题 7 假设自变量 z的每个值使函数 2 o 兰 1 一 的对应值是正的 求 z的一切值 8 在某 个 公 司 中 每个 员 工 或 者 是 诚 实 人 总是讲 真话 或者 是撒谎 人 总 是讲假话 每个 员工与其余每个员工交谈时 宣称 自己是诚实人 或者是撒谎人 一共得出 3 2个 诚实 的答案 4 0 个 撒谎 答 案 在 这个 公 司 中 诚 实 人 的人 数 与 撒谎 人 的人 数之差 是多 少 9 在 aa bc中 边 a b 一 3 8 中线 c m 与 ab 成 4 o 角 且 等于 1 9 在这 个三角形 中有 一个 内切 圆 求内接于此圆且与 a bc相似的三角形的周 长 1 o 在参数 c的一切值下解混合组 f 2 2 一 zj e 4 一4 七 c 一 c f 2 l o g 2 4 一y 一 1 口试题 l 1 i 叙 述并 证 明勾股定理 一个半径为 2的圆内接于等腰梯形 切 点分梯形的腰为长度之比是 1 4的两部分 求梯 形 的面积 1 2 假设对于参数 c 的每个值 坐标平面上点 的坐标 z 满足 混合组 f 努等 生 01 4 x 4 1 2 y 7 9 j z 十 一 z c 一0 并且点集是一个区间 求参数 c 的一切值 答案与 解法 1 1 1 2 v r 一 解 已知 函数分别在 厂 z 1 7 x 4 2 4 x 1 1 0 一1 1 z 0 时有意义 从关系式 一1 7 x 4 2 4 x 4 1 1 o 一 1 1 1 求出函数的零点 因此必 须从数丝 o 2 i中选出包含在定义域交集 中 的数 为 了减 少复杂 的计 算 可 由 o 0 厂 1 0 厂 2 0加以辅助判断 2 77 解 如果安得烈捕到 z 条鲫鱼 那 么波里斯捕到 7 x 条 鲫 鱼 如 果 波 里 斯 有 条 其 他 的 鱼 安 得 烈 有 y 条 其 他 的 鱼 因 此 t 3 j 导 z 5 5 4 5 从 而 得 3 x 1 7 此外 与 y都 可被 4整除 所以 z 1 7 4 k y 一 3 4 此 时 整 数 由 条 件 z l o o r 得 出 一 1 z 一6 8 y 一1 2 3 1 6 解 如 图 1 根 据 角平 分线 定理 b d b c d f f c 3 4 因此 b c 一 4 6 bd 3 b ad b 其次 o d a d b d b一 2 可 见 s 一 1 r4 b r 43 一 可 见 s 一 一 而 s 一 2 s 3 4 1 9 2 0 21 2 2 23 解 记 厂 一 j 2 y 4 y 一 1 则得 在 y 0时 f 图 1 厂 0 因此 由连续 性 方 程 厂 一 0在区间 o 1 内至少有一根 并且在这个区间外 没有其 它的根 即 口 0 1 原不等式等价于 a 8 a 一 2一 n 一 2 a 一 4 a n a 1 2 n 一 4 a 一 口 n 一 a 2 3 因 此 z 2 3 5 警 一1 罢 7 cn k z 0 u 解 所得出的十位数应 当被 9 与 4 整除 因此数 a可 被 4 整除 其数字和等于 5 或 1 4 这些数 中的最小数是 3 2 所 以原方程等价于 c s 4 x s i n 2 x 号 一s i n 3 z c os 4x c o s 2 x s i n 3 x 亡 2s i n 3 x s i n z s i n 3 x s in 3 z o 或 z 一 一 专 6 2 解 由正切相等不能推 出四边形 各 内角相 等 这 时 它们 的一切 角都等 于 9 o 得 出矛 盾 正 切 是 不 确 定 的 四 边 形 的 一 个 内 角 必 须 大于 i 8 0 于是各 内角等 于 2 2 5 4 5 4 5 4 5 图 2 如果在 所得 出的非 凸 四 d 图 2 边形 a b c d a 一 2 2 5 中记 a b z a d y 那 么可 以证明b c一 c d z 如果为 了确定起见 取 x 那么根据递增 的次序 边 长依次为 z y 2 0 1 0年 第 9期 中学 数学 月刊 4 9 西 由方程组 一 求出其余的边长 i z一1 7 一 2 1 u 5 7 解 0 解 1 4 5 z一 j c 等 1 j in 警 丢 z 一5 x一1 4 0 z e 2 7 z 警 1 3 n z i z e 2 7 5 4 1 2 k z 1 3 1 2 一 e 一2 1 u 5 7 1 r e 2 7 8 1 解 如果共有 n 位员工 那 么 n n 一1 一 3 2 4 0 从 而得 一 9 设 有 k位诚实人 9 一k 位撒谎人 则每位 诚 实人 与 其余 员工 交谈 时 给 出 k一1次诚实答 案 9一k次撒 谎答 案 每个 撒谎 人 与其余员 工交谈时 给 出 9 一 一 1 8 一 k次诚实答案 k次撒谎答 案 所 以 诚实答案共有 k k一1 9 一是 8 一 一 2 一1 8 7 2 个 撒谎答 案共 有 9 一 9 一k k 一 1 8 k 一 2 从 而得 k 4 这时 9 一k一 5 或 k一 5 这时 9 一k一 4 无论在任何情形下 差都等于 1 9 3 8s i n 40 解 因为中线 等于边长一半 所 以三角形是 直角 三 角形 m 是外接圆圆心 圆 内接三角形边长与原三 角形边 长之 比 相似 比 等 于a a b c 内 切圆 与 外 接圆 的 半 径 之比 即k 一亩一 半 号 一 半 这 里 n 6 是 直 角 边 c 是 斜 边 所 以要求 的周 长等于 p a b c k n b 2 a b 2a b 2 c h 2h c c 其 中 h是斜边上的高 h c m s i n 4 0 l o 当 f一一2时解为 z 1 1 y一 2 当 c 一 2 时无 解 解 根据 条件 2 2 干 4 0z c 4y c z k 9 厮 2 一 16 4 一 e s 22 因此只有在 币一 3 一 2时才会得出等 式 从 而 z一 9一 c y一 4 f 在 方 程 中 作 代 换 得 2一 l o g z 一 c 一 1 即 l o g z c 一 2 左边是连续递减 函数 右 边是 连续递增 函数 因此方程不能多于一个 以上 的根 容 易用选 择法求 出 c一 一 2 当 c一一2时求出 z一 1 1 y一 2 1 1 2 0 解 以 表 示 腰 的一 部 分 则 另一部 分为 4 a 图 3 利用从一点作 出 的两 条切线 段相等 的性质 将 梯 形各 边 用 a表示 然后在 a b e 中 用 勾 股 定 理 得 出 5 a 一 3 a 4 故 口 l i 梯形 面 积 等 于 4 2 0 图 3 也 应指 出 从 rt o o d可更方便地 求出口 2 一 o f 一 cf fd 一口 4a 1 2 5 2 8 2 u 5 2 8 2 解 将不等式化成 等 等 0y 6 6 z 一 7 一 在平面上这是一个圆心为 8 一5 半径为2 6的圆 由此圆中切出另一个圆心为 7 一6 半径为 6的圆 如 图 4 原混合组 中的方程给 出一对直线 水平线与竖直 线 不 等式 的解 集被 竖直线 2 7 一c 所截 在参数 c 递增 时 依次给 出 当 c 8 2 时为空集 当 c 一