2011年辽宁(理数)高考试题.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）第卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 为正实数，为虚数单位，则=（ ）(A)2 (B) (C) (D)12. 已知为集合的非空真子集，且不相等，若（ ）(A) (B) (C) (D)3. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为（ ）(A) (B) 1 (C) (D)4. 的三个内角所对的边分别为，+=则（ ）(A) (B) (C) (D)第6题图5. 从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则= （ ）(A) (B) (C) (D) 6. 执行右面的程序框图，如果输入的是4，则输出的是（ ）(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 27. 设sin，则（ ）(A) (B) (C) (D) 第8题图8. 如图，四棱锥的底面为正方形，则下列结论中不正确的是（ ） (A) (B) (C) 与平面所成的角等于与平面所成的角 (D) 所成的角等于所成的角9. 设函数=则满足2的的取值范围是（ ） （A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）10. 若，均为单位向量，且=0，（）（），则的最大值为（ ）（A） （B）1 （C） （D）211. 函数的定义域为，=2，对任意，则2x+4的解集为（ ）（A） （B） （C） （D）12. 已知球的直径，是该球球面上的两点，则棱锥的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）1第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题,每小题5分。13. 已知点（2,3）在双曲线C：（）上，的焦距为4，则它的离心率为_.14. 调查了某地若干户家庭的年收入（单位：万元）和年饮食支出（单位：万元），调查显示年收入与年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：.由回归直方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元.15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个第15题图俯视图矩形，则这个矩形的面积是_.16. 已知函数=的部分图像如下图，第16题图则=_.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题满分12分）已知等差数列满足（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前n项和。18. （本小题满分12分）如图，四边形为正方形，.第18题图（I） 证明：平面（II）求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成小块地，在总共2小块地中，随机选小块地种植品种甲，另外小块地种植品种乙。（I）假设=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为，求的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即=8，试验结束后得到品种甲和品种乙各个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的样本方差，其中为样本平均数。20. （本小题满分12分）第20题图如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点在轴上，椭圆的短轴为，且，的离心率都为，直线与交于两点，与交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为。（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线，使得，并说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数.（）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲第22题图如图四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且.（I）证明：；（II）延长到，延长到，使得，证明：四点共圆。23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为曲线的参数方程为在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线各有一个交点。当时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合。（I）分别说明，是什么曲线，并求出与的值；（）设当时，的交点分别为,当时，的交点为，求四边形的面积。24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数。（I）证明：；（II）求不等式的解集。参考答案：辽宁理数1. 答案：B 命题动向：本题考查了复数代数形式的四则运算，考查了复数的模，是基础知识的考查。解析:2. 答案：A 命题动向：本题考查了集合的交、并、补运算，以及集合之间包含与被包含的关系。解析：因为，选 A.3. 答案：C 命题动向：本题主要考查了抛物线的定义，合理转化充分利用定义是解题的关键。第3题答案图第一解析：设两点到准线的距离分别为，则，则中点到准线的距离 ，故中点到轴的距离为，故选C.第二解析：如图，由抛物线的定义知，所以中点的横坐标为. 4. 答案：D 命题动向：本题考查了同名三角函数关系，考查了正弦定理，考查了解三角函数问题的基本策略。解析：因为所以由正弦定理得即再由正弦定理得，解得，选D.5. 答案：B 命题动向：本题考查了概率计算问题。第一解析：事件B含有基本事件数为，事件A含有基本事件数为，因此，选B.第二解析：，故答案选B.6. 答案：C 命题动向：本题考查了程序框图，正确理解框图语言是解题的关键。第一解析：因为，由判断框，得，循环3次，第一次循环第二次循环 第三次循环 则输出，故选C. 第二解析： 不成立，输出.7. 答案：A 命题动向：本题考查了二倍角余弦公式、诱导公式，是一道三角函数的给值求值问题。解析：，故，选A.8. 答案：D 命题动向：本题考查了空间几何体中线线、线面的位置关系，考查了线面角、异面直线所成角问题，考查了空间想象能力。第一解析：所成的角等于所成的角，显然为锐角，所成的角等于所成的角，显然为直角，因此所成的角与所成的角不相等，故D选项错误，选D.第二解析：易证平面，因而，A正确；平面，故,B正确；由于与平面的相对位置一样，因而所成的角相同.9. 答案：D 命题动向：本题考查了指数不等式、对数不等式的解法，旨在考查对数函数、指数函数的单调性问题。第一解析：当得取交集得，因此，满足的的取值范围是，选D.第二解析：易知，在上为减函数，由，得，所以的取值范围是.10. 答案：B 命题动向：本题考查了向量问题，考查了向量数量积的定义运算，考查了最值问题。解析：由，因此的最大值为1，选B.11. 答案：B 命题动向：本题考查了导数在函数中的应用，合理构造函数是解答本题的关键，属于难题。解析：令即为增函数，又因为，所以，因此的解集为，选B.12. 答案：C 命题动向：本题考查了球与多面体的组合体问题，考查了割补思想在球体积中的应用，属于中档题。第一解析：连结,作,连结,由三余弦定理得：即,点到平面的距离为,球半径为2，因此,则,选C.第二解析：由题意知，如图所示，在棱锥中，都是有一个角为30的直角三角形，其中，作于点，易证平面，因此.选C.13. 答案：2 命题动向：本题考查了双曲线离心率的求解策略，考查了双曲线中的基本量。解析：由条件知半焦距，将点代入双曲线方程得，又，联立两式解得，解得离心率.14. 答案：0.254 命题动向：本题主要考查了回归直线方程，对回归直线方程的理解是解题关键，属于简单题.解析：因为，所以家庭收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254元. 15. 答案： 命题动向：本题考查了三视图，考查了空间想象能力，考查了柱体体积的计算公式。第15题答案图第一解析：设正三棱柱底面边长和侧棱长均为，则有，故，则左视图矩形边长为侧棱长和底面的高，所以面积为.第二解析：如图，设底面边长为，则侧棱长也为，故，左视图与矩形相同，16. 答案： 命题动向：本题考查了正切函数的图象及其性质，考查了识图能力。解析： 由图知，故，对称中心为，因此，所以，得，故.17. 命题动向：本题考查了等差数列基本量的运算，考查了数列求和的方法。解析：（）设等差数列的公差为，由已知条件可得，故数列的通项公式为.（）设数列的前项和为，即，故，所以，当时，所以.综上，数列的前前项和为.18. 命题动向：本题考查了空间中的垂直、平行关系的转化，考查了面面垂直的证明策略，考查了二面角的计算方法，考查了同学们的空间想象能力、推理运算能力。解析：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.（）依题意有所以 ,又,第18题答案图所以平面.（）依题意有设是平面的法向量，则即，因此可取，设是平面的法向量，则，可取，所以，且由图象可知二面角的余弦值为.19. 命题动向：本题考查了概率的计算、离散型随机变量的期望、方差，考查了互斥事件、相互独立事件的概率的计算，考查了同学们运用概率知识解决实际问题的能力。解析：（）可能的取值为 即的分布列为01234的数学期望为.（）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 . 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20. 命题动向：本题考查了圆锥曲线中椭圆的基本量、探索性问题，考查了同学们综合解决解析几何问题的能力。解：（）因为，的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与，的方程联立，求得， 当，分别用，表示的的纵坐标，可知 . （）时的不符合题意，时，当且仅当的斜率与的斜率相等，即, 解得因为，又，所以，解得.所以当时，不存在直线，使得；当时，存在直线，使得.21. 命题动向：本题考查了导数的应用、利用导数证明不等式的问题，考查学生运用函数思想解决数学问题的能力。解析：（）的定义域为.（）若，则上单调递增.（）若，则由得，且当时，当时， 所以在单调递增，在上单调递减.（）设函数，则当，故当.（）证明：由（）可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，故，从而是最大值为，且，不妨设，由（）得，从而，于是，由（）知，.22. 命题动向：本题考查平面几何知识，考查了平面几何中线线平行的证明策略，以及四点共圆的证明方法。解：（）因为,所以，因为四点在同一圆上，所以.第22题答案图故，所以.（）由（）知，,因为,故，从而 .连结，故,又，,所以，所以,所以=180 ，故四点共圆. 23. 命题动向：本题考查了极坐标与参数方程问题。解: （）是圆, 是椭圆，当时,射线与,交点的直