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第4章 插值与拟合方法1 问题的描述与基本概念已知上实函数在个互异点处的函数值要求估算在中某点的值.1）插值问题的描述找近似函数P (x)，满足 l P (x) 称为f (x)的一个插值函数;l f (x) 称为被插函数;点为插值节点;l 称为插值条件;l 称为插值余项。当插值函数是多项式时称为多项式插值. 为获得唯一的插值多项式，设 用表示次数不超过的多项式集合. 定理1 中满足插值条件的插值多项式是存在且唯一.证明 仅证唯一性.设且都满足插值条件，于是有令那么.因为所以有n+1个零点. 由代数基本定理有，因此。2 Lagrange插值 时，设，满足 时，设，满足. 将写成 其中是二次多项式，满足 可求得 例一 已知数表x013y=f(x)132用抛物插值计算的近似值.一般地， 其中 具有性质 称为Lagrange插值多项式，而称为 Lagrange插值基函数例二 证明： 定理2 设在a,b上连续，在（a,b）上存在，互异节点 是满足插值条件的插值多项式，则有对任何成立 式中设在a,b上有n+1阶导数，若能得到，则有余项估计式例三 证明由下列插值条件xy=f(x)所确定的Lagrange插值多项式是一个二次多项式.3 Newton 插值1) 构造原理已知数表 设插值多项式为借助插值条件可求出 的系数.当时，有得出. 当时, 有 可得 依次取并利用插值条件就可依次解出，从而求出的具体形式。为将解出的系数用公式表示出来，引进差商的概念.称为函数关于节点的零阶均差，称为函数关于节点的一阶均差，称为函数关于节点的二阶均差. 一般地，有了阶均差后，称为函数关于节点的阶均差.均差性质 2 均差关于节点是对称的3 在上存在阶导数，则均差与导数关系为 例一 设 求和2) 分析 把后式依次代入前式可有 其中 为Newton插值多项式，为均差型插值余项.由插值多项式唯一性可有设可得 差商表xf(x)一阶差商二阶差商n阶差商例二 已知数表x013y=f(x)132用二次Newton插值计算的近似值.练习一 给定数表x124568f(x)028121828试用二次和四次Newton插值多项式计算的近似值.练习二 假定定义在上,
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