2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案.doc

2011年全国高中数学联赛四川初赛试题详细解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率等于（ ）A、 B、 C、 D、解：由题意得，解得 故答案选B2、已知三次函数，), 命题：是上的单调函数；命题：的图像与轴恰有一个交点则是的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件解：选A3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的设在一局中甲赢的人数为，则随机变量的数学期望的值为（ ）A、 B、 C、 D、1解：, ,于是. 故答案选4、函数的最大值为（ ）A、 B、3 C、 D、 解：法一：的定义域为，由，解得因为，于是故答案选C法二：的定义域为，当且仅当，即时，取到最大值故答案选C5、如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且，则线段MN的长的取值范围是A、B、 C、 D、 解：过点M作MH/BC交AB于H，则，又AM=FN，AC=FB， ，NH/AF，NHAB，MHAB，MHN=60设AH=x(0x2)，则MH=x， 选答案选B6、设数列为等差数列，数列满足：，若 ，则数列的公差为（ ）A、 B、1 C、2 D、4解： 于是，解得故答案选D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知实数满足，则的取值范围是 解：因为，等号成立当且仅当，即故答案填 8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且，则使得向量与互相垂直的所有实数之和为 解：由于=，即=0，所以由根与系数的关系知符合条件所有实数之和为1故答案填19、记实数等比数列的前项和为，若，则 解：记，设为的公比，则构成以为公比的等比数列，于是即，解得或（舍去），故故答案填150.10、设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，关于实数的方程的全部实根之和等于 解：设，则，于是原方程等价于，即，从而，即相应的为于是所有实根之和为故答案填11、已知，其中为整数，则 解：由条件知，于是，故故答案填12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 解：如图，因为SA=SB=SC，所以S在平面ABC上的射影是ABC的外心，即AB的中点H，同理O点在平面ABC上的射影也是ABC的外心H，即在等边SAB中，求OH的长，其中OA=OB=OS显然，故答案填三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知，若函数的最大值为，求的最小值解：令，则， （5分），当时，有最大值，即 （10分）， （15分）等号当且仅当时成立，当时，有最小值10 （20分）14、已知函数在有最大值5，求实数的值 解： （5分）令，则，从而 （10分）令，由题意知在有最大值5.当时，在时有最大值5，故符合条件； （15分）当时，矛盾！当时，矛盾！综上所述，所求的实数 （20分）15、抛物线与过点的直线交于、两点（I）求直线的斜率的取值范围；(II) 求在线段上满足条件的点的轨迹方程解：（I）直线的方程为，与抛物线方程联立得，消去得，即，由，解得或 （5分）（II）设点坐标为，点坐标为，点坐标为，则，又、都在直线上，所以有，由得化简得 （10分）又，点在线段上，所以同号则因此 ， ，由得代入得,即， （15分）又因为或，所以的取值范围是且，因此点的轨迹方程是（且） （20分）16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立求证：当取到最大值时，对任何正整数都有证明：当时，由得，当时，即，