三角形中考复习.ppt

1 三角形 角 相交线和平行线 含命题 有关概念 中考考点清单考点1线段 直线 射线考点2角及角平分线考点3相交线考点4平行线性质及判定考点5命题 2 常考类型剖析类型一相交线中角的计算类型二平行线的性质 3 1 直线公理 过两点有且只有一条直线 2 线段公理 过两点的所有连线中 最短 3 线段的中点 如图 点B在线段AC上 且把线段AC分成相等的两条线段AB与AC 这时B点叫做线段AC的中点 即AB BC AC 线段 图 返回目录 考点1线段 直线 射线 几何计数 1 当一条直线上有n个点时 在这条直线上存在 条线段 2 平面内有n个点 过两点确定一条直线 在这个平面内最多存在 条直线 3 如果平面内有n条直线 最多存在 个交点 5 返回目录 1 角的概念 一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角 如图 图 6 返回目录 2 角平分线的概念及其定理 1 概念 以一个角的顶点为端点的一条射线 如果把这个角分成两个的角 这条射线叫做该角的角平分线 如图 若OC平分 AOB 则 AOC AOB 2 定理 角平分线上的点到角两边的距离 如图 若OC平分 AOB 点P在OC上 则PM OA PN OB 则PM PN 图 相等 BOC 相等 7 返回目录 角的分类 90 180 考点2角及角平分线 有公共端点的n条射线 两条射线的最大夹角小于平角 则存在 个角 8 返回目录 补角和余角 平角 直角 1 补角的定义 如果两个角的和等于一个 即等于180 这两个角互为补角 或者说其中一个是另一个的补角 2 余角的定义 如果两个角的和等于一个 即等于90 这两个角互为余角 或者说其中一个是另一个的余角 3 补角 余角的性质 同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等 9 返回目录 两相交直线所成的角 相等 180 图 1 对顶角和邻补角对顶角 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线 如图 1与 3 2与 4都是对顶角 对顶角的性质 对顶角 邻补角 两个角有一个公共顶点和一条公共边 另一边互为反向延长线 如图 1与 2 1与 4 2与 3 3与 4都是邻补角 邻补角的和为 考点3相交线 10 垂线及其性质 直角 垂直 垂线 垂足 直角垂线段的长度 最短 1 垂线 两条直线相交所成的四个角中 如果有一个角是 我们就说这两条直线 其中一条直线叫做另一条直线 两条直线的交点叫做垂足 2 垂线段 过直线外一点 作已知直线的垂线 该点与之间线段 3 点到直线的距 离 从直线外一点到这条直线的 4 垂线的基本性质 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 垂线段的性质 垂线段 例题链接 11 2 三线八角 如图 同位角 1与 5 2与 4与 3与 7 内错角 2与 3与 5 3 同旁内角 3与 8 2与 8 6 8 5 图 例题链接 平行线 1 定义 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 2 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 3 平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 13 平行线的性质 1 两直线平行 同位角 2 两直线平行 内错角 3 两直线平行 同旁内角 4 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5 两条平行线的所有公垂线都相等 相等 相等 互补 例题链接 考点4平行线性质及判定 高频考点 1 同位角相等两直线平行 2 内错角相等两直线平行 3 同旁内互补角两直线平行 4 平行于同一条直线的两条直线平行 5 在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行 1 命题的概念 判断一件事情的句子 叫做命题 命题必须是一个完整的句子 这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断 两者缺一不可 2 命题的组成 每个命是由题设 结论两部分组成 题设是已知事项 结论是由已知事项推出的事项 命题常写成 如果 那么 的形式 或 若 则 等形式 真命题和假命题 命题是一个判断 这个判断可能是正确的 也可以是错误的 由此可以把命题分成真命题和假命题 真命题就是 如果题设成立 那么结论一定成立的命题 假命题就是 如果题设成立时 不能保证结论总是成立的命题 17 17 返回考点 类型一相交线中角的计算 重点 例1题图 C 解析 射线OC平分 DOB COB 35 DOB 2 COB 2 35 70 AOD 180 DOB 110 点评与拓展 相交线中角的计算 常常需要借助邻补角 对顶角 角平分线 平行线的性质 判定以及三角形的内 外角和定理等知识点 联合一起解决问题 突破方法是 正确理解 掌握上述概念 定理 例 13大连 如图 点O在直线AB上 射线OC平分 DOB 若 COB 35 则 AOD等于 35 70 110 145 18 18 返回考点 变式题 13南通 如图 直线AB CD相交于点O OE AB BOD 20 则 COE等于度 变式题1图 解析 OE AB EOA 90 又 AOC BOD 20 COE 90 20 70 70 19 19 返回考点 类型二平行线的性质 重点 解析 AB CD BAC C 180 C 180 BAC 60 AC DF CDF C 60 例2题图 A 例2 13黄冈 如图 AB CD EF AC DF 若 BAC 120 则 CDF A 60 B 120 C 150 D 180 20 20 返回考点 思维方式 1 解决平行线性质问题 通常可以利用 F型 Z型 H型 等基本模型找准同位角或内错角或同旁内角 2 利用平行线的性质求角 常见的思路为 先根据平行线的性质求得与未知角互补或相等的角 再利用互补或相等关系 求未知的角 先求得与未知角互补或相等的角 再利用平行线的性质求未知角的大小 21 21 返回考点 变式题2 13成都 如图 B 30 若AB CD CB平分 ACD 则 ACD 度 变式题2图 解析 AB CD BCD B 30 CD平分 ACD ACD 2 BCD 2 30 60 60 22 三角形的基本概念与性质 中考考点清单考点1三角形的分类考点2三角形的基本性质考点3三角形中的重要线段常考类型剖析类型一三角形的三边关系类型二三角形的内角和定理类型三三角形的中位线 23 考点1三角形的分类 锐角 钝角 1 按边分2 按角分 返回目录 24 1 三角形的三边关系 图 如图 我们知道 连接两点的所有连线中 线段最短 因此有 AC CB AB BA AC BC AB BC AC 由此可见 三角形三边之间有如下关系 三角形任意两边之和第三边 大于 例题链接 考点2三角形的基本性质 25 1 三角形内角和性质 三角形的内角和等于 2 三角形一个外角等于与它不相邻的两内角 一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 如图 ACD A B ACD B ACD A 2 三角形内角和性质及内外角关系 图 180 和 返回目录 26 三角形的角平分线 图 三角形的角平分线的描述方式 如图 所示 1 AD是 ABC的角平分线 2 AD平分 BAC交BC于点D 3 1 2 BAC 即 BAC 2 1 2 2 返回目录 考点3三角形中的重要线段 27 图 2 三角形的中线的描述方式 如图 所示 1 AM是 ABC的中线 2 AM是 ABC中BC边上的中线 3 点M是BC边的中点 4 BM CM 返回目录 28 3 三角形的高线 从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 锐角三角形直角三角形钝角三角形 返回目录 29 三角形的中位线 1 定义 连接三角形的线段叫做三角形的中位线 2 中位线的性质 三角形的中位线第三边 并且等于 如图 ABC三边中点分别为D E F 则 1 DFBC DEAC EFAB 2 S ADF S DBE S FEC S EFD S ABC 图 两边中点 第三边的一半 平行 返回目录 30 30 类型一三角形的三边关系 重点 解析 3 6 8 3 6 8 能构成 3 6 9 3 6 9 不能构成 3 8 9 3 8 9 能构成 6 8 9 6 8 9 能构成 故最多能组成三个三角形 例 13南通 有2cm 6cm 8cm 9cm的四条线段 任选其中的三条线段组成一个三角形 则最多能组成三角形的个数为 1 2 3 4 C 返回目录 31 点评与拓展 1 三边关系定理 三角形两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边 实际操作时 只要验证 两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可 2 三角形的三边关系一般和不等式组联系 甚至涉及分类讨论的思想方法 例如求三角形的周长 不能盲目地将三边长相加起来 而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯 把不符合题意的舍去 返回目录 32 变式题 13海南 一个三角形的三条边长分别为1 2 x 则 的取值范围是 A 1 x 3B 1 x 3C 1 x 3D 1 x 3 解析 已知三角形两边的长分别是1和2 第三边x的范围是2 1 x 1 2即1 x 3 D 返回目录 33 33 变式题2 12湖州 如图 在 ABC中 D E分别是AB AC上的点 点F在BC的延长线上 DE BC A 46 1 52 则 2 度 变式题2图 解析 DEC是 ADE的外角 A 46 1 52 DEC A 1 46 52 98 DE BC 2 DEC 98 98 返回目录 34 34 类型三三角形的中位线 解析 因为三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 所以BC 2EF 4cm 例3题图 例3 11湘西州 如图 在 ABC中 E F分别是AB AC的中点 若中位线 2cm 则BC边的长是 A 1cmB 2cmC 3cmD 4cm 点评与拓展 本题考查了三角形中位线的性质 三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段 中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半 D 返回目录 35 35 变式题3 13昆明 如图 在 ABC中 点D E分别是AB AC的中点 A 50 ADE 60 则 C的度数为 A 50 B 60 C 70 D 80 变式题3图 解析 由题意得 ADE 180 A ADE 70 点D E分别是AB AC的中点 DE是 ABC的中位线 DE BC C AED 70 C 返回目录 36 第3课时全等三角形 中考考点清单考点1全等三角形及其性质考点2三角形全等的判定常考类型剖析类型全等三角形的判定 37 考点1全等三角形及其性质 返回目录 1 定义 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2 性质 1 全等三角形的对应边 对应角 2 全等三角形的对应线段 角平分线 中线 高线 中位线 相等 对应周长 对应面积 相等 相等 相等 相等 38 1 三角形全等的判定方法 图 1 SSS 对应相等的两个三角形全等 如图 在 ABC与 DEF中 已知AB DE AC DF BC EF 则 ABC DEF 2 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 如图 在 ABC与 DEF中 已知AB DE A D AC DF 则 ABC AEF SAS 三边 返回目录 考点2三角形全等的判定 39 3 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 如图 在 ABC与 DEF中 已知 A D AB DE B E 则 ABC DEF 4 AAS 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 如图 在 ABC与 DEF中 已知 A D B E AC DF 则 ABC DEF 5 HL 在两个直角三角形中 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 如图 在Rt ABC与Rt DEF中 已知 B E 90 AC DF BC EF 则Rt ABC Rt DEF 图 ASA 返回目录 40 图 图 返回目录 41 2 三角形全等的证明思路 返回目录 42 返回目录 43 特殊三角形 中考考点清单考点1等腰三角形考点2等边三角形考点3直角三角形常考类型剖析类型一等腰三角形类型二直角三角形 44 1 性质 1 等腰三角形是图形 对称轴是顶角平分线所在直线 2 等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和底边上的高 三线合一 3 等腰三角形的两底角 1 有两边相等的三角形是等腰三角形 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形 2 判定 轴对称 相等 返回目录 考点1等腰三角形 45 考点2等边三角形 1 性质 1 有三条边相等的三角形是等边三角形 2 有两个角等于的三角形是等边三角形 3 有一个角是60 的三角形是等边三角形 2 判定 60 等腰 1 等边三角形的三个内角均相等且等于 2 等边三角形底边上的中线 底边上的高线和所对顶角的角平分线互相重合 60 返回目录 46 1 勾股定理即其逆定理 1 勾股定理直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 即a2 b2 c2 2 勾股定理的逆定理如果三角形三边长为a b c 且满足下面的关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 如图 在 ABC中 已知 A B C的对边分别为a b c 若 ABC为直角三角形且 C 90 则a2 b2 c2 若a2 b2 c2 则 ABC为直角三角形 且 C 90 返回目录 考点3直角三角形 47 2 直角三角形的性质与判定 90 一半 30 一半 一半 返回目录 48 类型一等腰三角形的性质与判定 重点 解析 AB AC AD平分 BAC BC 8 AD BC CD BD BC 点E为AC的中点 DE CE AC 5 CDE的周长 CD DE CE 4 5 5 14 例 13枣庄 如图 ABC中 AB AC 10 BC 8 AD平分 BAC交BC于点D 点E为AC的中点 连接DE 则 CDE的周长为 A 20B 12C 14D 13 例1题图 C 返回目录 49 点评与拓展 本题考查等腰三角形的 三线合一 及三角形的中位线性质 已知等腰三角形 三线 中的任一条时 顶角平分线或底边上的中线或底边上的高 常需要运用 三线合一 的性质 若已知图形中两个或两个以上的 中点 时 常注意运用三角形中位线的性质 返回目录 50 类型二直角三角形的相关计算 重点 解析 在Rt ABC中 AC 6 BC 8 AB D是AB边上的中点 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD AB 10 5 例2题图 例2 14原创 如图 在Rt ABC中 ACB 90 AC 6 BC 8 D是AB上的中点 连接CD 则CD的长是 A 20B 10C 5D C 返回目录 51 点评与拓展 本题考查了勾股定理 直角三角形的性质 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 题目的综合性很好 且难度不大 解决有关直角三角形的问题时 熟练掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键 返回目录 52 52 变式题2 14原创 在Rt ABC中 C 90 AC 9 BC 12 则点C到AB的距离是 解析 根据题意画出相应的图形 如图所示 在Rt ABC中 AC 9 BC 12 根据勾股定理得 过C作CD AB 交AB于点D 又S ABC AC BC AB CD CD AC BC AB 9 12 15 则点C到AB的距离是 返回目录 53 相似三角形 中考考点清单考点1比例线段及其性质考点2相似三角形考点3相似多边形及位似常考类型剖析类型相似三角形的判定及性质 54 1 相似三角形的性质 1 两角对应相等的两个三角形相似 2 两边对成比例且角相等的两个三角形相似 3 三边对应成比例的两个三角形相似 2 相似三角形的判定 1 相似三角形的对应角 2 相似三角形的对应线段 边 高 中线 角平分线 成比例 3 相似三角形的周长比等于 面积比等于 相等 相似比 相似比的平方 返回目录 考点2相似三角形 55 返回目录 56 返回目录 57 考点3相似多边形及位似 1 相似多边形的概念及性质 概念 我们把对应角相等 并且对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 性质 1 相似多边形的对应边 2 相似多边形的对应角 3 相似多边形周长的相似比 相似多边形面积的比等于 成比例 相等 等于 相似比的平方 返回目录 58 解直角三角形的应用 中考考点清单考点1锐角三角形考点2解直角三角形的边角关系考点3解直角三角形的实际应用常考类型剖析类型一解直角三角形的边角关系类型二解直角三角形的实际应用 59 1 三角函数的概念如图 在Rt ABC中 90 的对边分别为a 正弦sin 余弦cosA 正切tanA 考点1锐角三角函数 返回目录 60 2 特殊角三角函数值 返回目录 61 返回目录 返回目录 62 考点3解直角三角形的实际应用 高频考点 返回目录 63 返回目录 64 类型一直角三角形的边角关系 例1 12上海 如图在Rt ABC中 ACB 90 是边AB的中点 BE CD 垂足为点E 己知AC 15 cosA 1 求线段CD的长 2 求sin DBE的值 例1题图 返回目录 65 思路分析 1 利用锐角三角函数求出斜边AB的长 再依据CD AB求解即可 2 先利用三角函数求出BC 再由sin ABC sin ECB得cos ECB 结合BC求得EC DE DB 求解sin DBE 解 1 在Rt ABC中 因为AC 15 cosA 则得cos 解得AB 25 再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD AB 返回目录 66 2 由AC 15 AB 25 利用勾股定理可得BC 20 又因cos sin ABC 得sin ABC 又因CD DB 于是得 ECB ABC 由sin ABC sin ECB 得cos ECB 又因BC 20 解得EC 16 因CD 于是DE DB 则sin DBE 返回目录 67 变式题1如图 在Rt ABC中 C 90 AB BC 1 则tan A 解析 tanB 变式题1图 返回目录 68 类型二解直角三角形的实际应用 例2 13黄冈 如图 小山顶上有一信号塔AB 山坡BC的倾角为30 现为了测量塔高AB 测量人员选择山脚 处为一测量点 测得塔顶仰角为45 然后顺山坡向上行走100米到达E处 再测