教材中有关距离的问题.doc

欢迎光临中学数学信息网 选修2-1教材中有关距离的问题(杨志明）题1（第111页练习第2题)如图，已知两条异面直线所成的角为，在直线a、b上分别取E、F，已知AE=m，AF=n，EF=l，求公垂线A A的长d.解：， ， =（或），当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理” .变式1baA1AEFdmnG.已知:两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1Em，AFn，求证:EF(92(26) 证明:设经过b与a平行的平面为，经过a和AA1的平面为，c，则ca，因而b，c所成的角等于，且AA1c，又AA1bAA1，由两个平面垂直的性质定理有EG.连结FG，则EGFG，在RtEFG中，EF2EG2FG2 AGm，在AFG中，FG2m2n22mncos EGd，EF2d2m2n22mncos 如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧，则 EF2d2m2n22mncos 因此EF.变式2:(P92练习第3题)如图,线段AB,BD在平面内,BDAB,线段AC,且AB=a,BD=b,AC=c,求C,D间的距离.变式3: (P106例2)：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为, AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， 于是，得设向量 与的夹角为， 就是库底与水坝所成的二面角。因此, 库底与水坝所成二面角的余弦值为变式4: (P107练习第2题)已知在一个的二面角的棱长有两点，分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段，又知，求的长解：由已知,，.变式5:(P113习题3.2A组第9题)正方体的棱长为1,点M是棱的中点,点O是的中点,求证:OM是异面直线与的公垂线,并求OM的长.解: 以A为原点建立坐标系,得下列坐标: ，.因为,所以.题2 (P119复习参考题B组第3题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和AC，侧棱SA底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=0.5.(1)四棱锥S-ABCD的体积；SCADB（2）求面SCD与面SAB所成二面角的大小. 解：（1）直角梯形ABCD的面积为。四棱锥S-ABCD的体积为.(2)建立如图空间直角坐标系Axyz,则,.SA平面ABCD,ADAB, 向量是面SAB的一个法向量.设平面SCD的一个法向量为,由令,则.面SCD与面SAB所成二面角的大小.变式1:如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ,(1)求证：面SAB面SBC;(2)E点是SC的中点,求证：DE面SBC.PABCD变式2:如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABa，AD3a，且ADCarcsin，又PA平面ABCD，PAa，求：(94上海) 二面角PCDA的大小(用反三角函数表示)； 点A到平面PBC的距离. 解:如图，在平面ABCD内，过点A作AECD，垂足为E，连结PE，有PA平面ABCD，由三垂线定理知PECD， 故PEA是二面角PCDA的平面角 在RtDAE中，AD3a，ADCarcsin 则AEADsinADCa 在RtPAE中，tanPEA 故二面角PCDA的大小为arctan 在平面PAB中，过点A作AHPB，垂足为H，有PA平面ABCD，ABBC，PABC，则有BC平面PAB. 又AH平面PAB，因此BCAH.又AHPB，故AH平面PBC. 因此线段AH的长即为点A到平面PBC的距离. 在等腰直角PAB中，AHa,即点A到平面PBC的距离为a.PABCDEH题3(P114习题3.2B组第3题)如图,在棱长为的正方体中,点E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.(1)求证;(2)当三棱锥的体积取得最大时,求二面角的正切值.解:(1)以C为坐标原点,以CO、CB、为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,设，则，即.(2) 当且仅当时,即E,F分别为AB,BC中点时, 最大.取EF的中点G,连结BG, ,则,BGEF, EF,即是二面角的平面角.又,.即.二面角的正切值是.题4:(P114习题3.2B组第2题)在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1, 且平面ABCD与平面互相垂直.活动弹子M, N分别在正方形的对角线AC和BF上移动，且CM和BN若的长度相等,记CMBNa(0a). (1)求MN的长； (2)当a为何值时，MN的长最小； (3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值。 解:以B为坐标原点,以BA、BE、BC为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则 ，（1），.(2) ,当时, .(3)由(2)知当M, N分别为AC、BF中点时MN的长最小，则.取MN的中点G,连结AG, BG,则.AM=AN,BM=BN, G为MN中点,AGMN,BGMN,即AGB即为二面角的平面角.，.所求二面角的余弦值为. 变式:如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)(2002年全国(18)、天津(18乙) 1求MN的长； 2当a为何值时，MN的长最小； 3当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小. 本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力. 解：（1）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MPNQ，且MPNQ，即MNQP是平行四边形. MNPQ, 由已知，CMBNa，CBABBE1，ACBF. ,即CPBQ. MNPQ(0a) MN(0a) （2）由（1）MN 所以，当a时，MNmin 即当M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长度最小，最小值为 （3）取MN的中点G，连接AG、BG， AMAN，BMBN，AGMN，BGMN，AGB即为二面角的平面角。又AGBG，所以由余弦定理有 cos.故所求二面角arccos().题5:(P114习题3.2B组第1题)如图,四面体DABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,点E是AC中点;异面直线AD与BE所成角为,且,求四面体DABC的体积. 解:以B为坐标原点,以BC、BA、BD为x、y、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则 ，设 .题6:(P112习题3.2A组第5题)如图，空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE.(1)计算DE的长;(2)求点O到平面ABC的距离.解:(1) ,.(2) .点O到平面ABC的距离是.题7ACBDOMACBD如图，设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且ABBCBD，CBADBC120，求：(91上海) AD的连线与平面BCD所成的角； AD得连线与直线BC所成的角； 二面角ABDC的大小 解:过A在平面ABC内作AOBC于O，连接DO， 面ABC面BCD， AO面BCD， 于是ADO就是所求AD与平面BCD所成的角，且AOD90. 设ABBCBD2，则AODO，AOD为等腰直角三角形，ADO45. 注意到BCAO，BCDO， BC面AOD. BCAD，即