高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1.2课件新人教A版选修2_3.ppt

第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用 类型一组数问题 典例1 1 2017 衡水高二检测 我们把个位数比十位数小的两位数称为 和谐两位数 则1 2 3 4四个数组成的两位数中 和谐两位数 有 个 2 8张卡片上写着0 1 2 7共8个数字 取其中的三张卡片排放在一起 可组成多少个不同的三位数 解题指南 1 要组成一个 和谐两位数 可按个位数进行分类 然后先排个位数再排十位数 2 百位数字不能为0 同时每位上的数字不能重复 解析 1 当个位数为1时 十位数可以是2 3 4任意一个 有3种选法 当个位数为2时 十位数可以是3 4任意一个 有2种选法 当个位数为3时 十位数只能是4 有1种选法 由分类加法计数原理 满足条件的 和谐两位数 有3 2 1 6 个 答案 6 2 先排放百位从1 2 7共7个数中选一个 有7种选法 再排十位 从除去百位的数外 剩余的7个数 包括0 中选一个 有7种选法 最后排个位 从除前两步选出的数外 剩余的6个数中选一个 有6种选法 由分步乘法计数原理 共可以组成7 7 6 294 个 不同的三位数 延伸探究 1 典例1 2 条件不变 问可组成多少个无重复数字的三位密码 解题指南 明确 三位密码 各个数位上的数字可以是0 解析 完成 组成无重复数字的三位密码 这件事 可以分为三步 第一步 选取左边第一个位置上的数字 有8种方法 第二步 选取左边第二个位置上的数字 有7种方法 第三步 选取左边第三个位置上的数字 有6种方法 由分步乘法计数原理知 可以组成无重复数字的三位密码共有8 7 6 336 个 2 典例1 2 中将条件 8张卡片上写着0 1 2 7共8个数字 改为 4张卡片的正 反面分别写有0与1 2与3 4与5 6与7 问可组成多少个不同的三位数 解析 要组成三位数 根据百位 十位 个位应分三步 第一步 百位可放8 1 7个数 第二步 十位可放6个数 第三步 个位可放4个数 故由分步乘法计数原理 得共可组成7 6 4 168 个 不同的三位数 方法总结 数字问题的解决方法及注意事项方法 对于组数问题 可从数位入手 逐位探究可能的选取方法 再利用两个原理计算 一般按特殊位置 末位或首位 由谁占领分类 分类中再按特殊位置 或特殊元素 优先的策略分步完成 如果正面分类较多 可采用间接法求解 注意事项 解决组数问题 应特别注意其限制条件 有些条件是隐藏的 要善于挖掘 排数时要注意特殊位置 特殊元素优先的原则 补偿训练 用0 1 2 3 4这5个数字可以组成多少个按下列要求的无重复数字 1 四位密码 2 四位数 3 四位奇数 解析 1 完成 组成无重复数字的四位密码 这件事 分为四个步骤 第一步 取左边第一位上的数字 有5种选取方法 第二步 取左边第二位上的数字 有4种选取方法 第三步 取左边第三位上的数字 有3种选取方法 第四步 取左边第四位上的数字 有2种选取方法 由分步乘法计数原理知 可以组成不同的四位密码共有N 5 4 3 2 120 个 2 方法一 完成 组成无重复数字的四位数 这件事分为四个步骤 第一步 从1 2 3 4中选取一个数字作千位数字 有4种选取方法 第二步 第三步 第四步与 1 类似 分别有4 3 2种选取方法 由分步乘法计数原理知 可以组成不同的四位数共有N 4 4 3 2 96 个 方法二 与第 1 问的区别在于 四位密码首位可以是0 而四位数首位不可以为0 因此 只需求首位为0的四位密码有多少个 由 1 的总数减去首位为0的个数即为所求 当首位是0时 第二位有4种选取方法 第三位有3种选取方法 第四位有2种选取方法 由分步乘法计数原理知 首位是0的四位密码共有1 4 3 2 24 个 故无重复数字的四位数共有120 24 96 个 3 完成 组成无重复数字的四位奇数 这件事 分两类方案 第一类 这个四位奇数的个位数字是1 分三个步骤要去完成 第一步 选取千位上的数字 有3种 从2 3 4中选 不同选法 第二步 选取百位上的数字 有3种不同选法 第三步 选取十位上的数字 有2种不同选法 由分步乘法计数原理知 该类中四位奇数共有1 3 3 2 18 个 第二类 这个四位奇数的个位数字是3 也是分三个步骤去完成 具体求法与个位数字是1时完全一样 因而这样的奇数也是18个 由分类加法计数原理知 共可组成无重复数字的四位奇数18 18 36 个 类型二涂色问题 典例2 1 2017 临沂高二检测 用五种不同的颜色给图中标有 1 2 3 4 的各个部分涂色 每部分涂一种颜色 相邻部分涂不同色 则涂色的方法共有 A 96种B 320种C 180种D 240种 2 如图 一个地区分为5个行政区域 现给地图着色 要求相邻区域不得使用同一颜色 现有4种颜色可供选择 则不同的着色方法共有 种 以数字作答 解题指南 1 先涂区域 3 再涂其他3个区域 2 以 同色与不同色分类讨论求解 解析 1 选B 分4步 第1步先涂 3 有5种 其余部分均有4种涂法 故总共有N 5 4 4 4 320 种 2 第1类 当 与 同色时有4 3 2 2 48种不同的涂色方法 第2类 当 与 不同色时 有4 3 2 1 1 24种不同的涂色方法 故共有48 24 72种不同的涂色方法 答案 72 方法总结 涂色问题的三种求解方法 1 按区域的不同以区域为主分步计数 并用分步乘法计数原理分析 2 以颜色为主分类讨论 适用于 区域 点 线段 问题 用分类加法计数原理分析 3 将空间问题平面化 转化为平面区域的涂色问题 巩固训练 如图所示的4块试验田 现有4种不同的作物可供选择种植 每块试验田种植一种作物 相邻的试验田 有公共边 不能种植同一种作物 则不同的种植方法有 种 解题指南 可分类完成此事件 A D种相同作物 A D种不同作物两类 解析 依题意 可分两类第一类 若A D种植同种作物 则A D有4种不同的种法 B有3种种植方法 C也有3种种植方法 由分步乘法计数原理 共有4 3 3 36种种植方法 第二类 若A D种植不同作物 则A有4种种植方法 D有3种种植方法 B有2种种植方法 C有2种种植方法 由分步乘法计数原理 共有4 3 2 2 48种种植方法 综上所述 由分类加法计数原理 共有N 36 48 84种种植方法 答案 84 补偿训练 如图所示 用5种不同的颜料给4块图形 A B C D 涂色 要求共边两块颜色互异 求有多少种不同的涂色方案 解析 方法一 按A C颜色相同或不同进行分类 若A C颜色相同 则A有5种涂色方法 B有4种涂色方法 D有4种涂色方法 故共有5 4 4 80 种 涂法 若A C颜色不同 则A有5种涂色方法 C有4种涂色方法 B有3种涂色方法 D有3种涂色方法 故共有5 4 3 3 180 种 涂法 根据分类加法计数原理 共有80 180 260 种 不同的涂色方案 方法二 按涂色种类进行分类 第一类 涂4种颜色 分四步 A有5种涂法 B有4种涂法 C有3种涂法 D有2种涂法 故共有5 4 3 2 120 种 涂法 第二类 涂3种颜色 则A C颜色相同或B D颜色相同 当A C颜色相同时 A C有5种涂法 B有4种涂法 D有3种涂法 故共有5 4 3 60 种 涂法 当B D颜色相同时 同理也有60种不同的涂法 故共有60 60 120 种 涂法 第三类 涂2种颜色 则A C颜色相同 B D颜色相同 A C有5种涂法 B D有4种涂法 故共有5 4 20 种 涂法 根据分类加法计数原理 共有120 120 20 260 种 不同的涂色方案 类型三简单的选 抽 取问题 典例3 1 2017 郑州高二检测 某地政府召集5家企业的负责人开会 其中甲企业有2人到会 其余4家企业各有1人到会 会上有3人发言 则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 A 14B 16C 20D 48 2 2017 南昌高二检测 现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学 其中A B两所希望小学每个学校至少2台 其他小学允许1台也没有 则不同的分配方案共有多少种 解题指南 1 可以分成两类 一类是甲企业有1人发言另两个发言人出自其余4家企业 一类是3人全来自4家企业 2 以A B两所希望小学所得电脑数为标准分类求解 解析 1 选B 分两类 第一类 甲企业有1人发言 有2种情况 另两个发言人出自其余4家企业 有6种情况 由分步乘法计数原理N1 2 6 12 第二类 3人全来自4家企业 有4种情况 综上可知 有N N1 N2 12 4 16 种 情况 2 根据题意 先给A B两所希望小学分配电脑 若每个学校2台 由于电脑型号相同 故只有1种情况 其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学 若一所小学2台 其他的没有 有3种情况 若2所小学各1台 其他的一所小学没有 有3种情况 共1 3 3 6种情况 若A B两所希望小学其中一所得3台 另一所2台 有2种情况 其次将剩余的1台电脑分给其他3所小学 有3种情况 共3 2 6种情况 若给A B两所希望小学各分配3台电脑 有1种情况 若A B两所希望小学其中一所得4台 另一所2台 有2种情况 综上可得 共6 6 1 2 15种不同的分配方案 方法总结 选 抽 取问题的解答策略对于选 抽 取问题 一般带有某些限制条件 其解答方法是 1 当数目不大时 可用枚举法 为保证不重不漏 可用树形图法 框图法及表格法进行枚举 2 当数目较大时 符合条件的情况较多时 可用间接法计数 但一般还是根据选 抽 顺序分步 根据选 抽 元素特点分类 利用两个计数原理进行解决 巩固训练 1 设某班有男生25名 女生30名 现要从中选出男 女生各一名代表班级参加比赛 共有多少种不同的选法 2 用三只口袋装小球 一只装有5个白色小球 一只装有6个黑色小球 另一只装有7个红色小球 若每次从中取两个不同颜色的小球 共有多少种不同的取法 解析 1 第1步 从25名男生中选出1人 有25种不同的选法 第2步 从30名女生中选出1人 有30种不同的选法 根据分步乘法计数原理 共有N 30 25 750种不同的选法 2 第一类办法 取白球 黑球 共有N1 5 6 30种取法 第二类办法 取黑球 红球 共有N2 6 7 42种取法 第三类办法 取红球 白球 共有N3 7 5 35种取法 由分类加法计数原理 共有N 30 42 35 107种不同的取法 补偿训练 为举行某活动招募了20名志愿者 他们的编号分别是1号 2号 19号 20号 若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作 其中两个编号较小的人在一组 两个编号较大的在另一组 那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数有多少 解题指南 解决问题的关键是分析出5号与14号分到一组对所选号码的限制 再选取需要的号码即可 解析