高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件新人教A版选修2_2.ppt

3 2复数代数形式的四则运算3 2 1复数代数形式的加 减运算及其几何意义 主题1复数的加法1 设向量分别表示复数z1 z2 那么向量表示的复数应该是什么 提示 表示的复数是z1 z2 2 设复数z1 a bi z2 c di a b c d R 对应的向量分别为那么向量的坐标分别是什么 提示 3 已知复数z1 a bi z2 c di a b c d R 类比多项式的加法法则想一想复数如何相加 提示 用文字语言描述 两个复数相加就是把实部与实部 虚部与虚部分别相加用符号语言描述 z1 a bi z2 c di 则 a bi c di a c b d i 用几何语言描述 设分别与复数a bi c di对应 则 a b c d 由平面向量的坐标运算 得 a c b d 故对应的复数为a c b d i 结论 1 定义对于复数z1 a bi和z2 c di a b c d R z1 z2 a bi c di a c b d i 2 几何意义复数的和z1 z2与向量的坐标对应 微思考 两个复数可以相加 那么两个以上的复数能相加吗 具体怎么运算 提示 能相加 仍是实部相加 虚部相加 主题2复数的减法1 规定 复数的减法是加法的逆运算 若复数z z1 z2 则复数z1等于什么 提示 z1 z z2 2 设复数z1 a bi a b R z2 c di c d R z x yi x y R 代入z1 z z2 由复数相等的充要条件得x y分别等于什么 提示 x a c y b d 3 根据上述分析 设复数z1 a bi a b R z2 c di c d R 则z1 z2等于什么 提示 z1 z2 a c b d i 4 类比多项式的减法想一想复数如何相减 提示 用文字语言描述 两个复数相减就是把实部与实部 虚部与虚部分别相减用符号语言描述 z1 a bi z2 c di a b c d R 则 a bi c di a c b d i 用几何语言描述 设分别与复数a bi c di对应 则 a b c d 由平面向量的坐标运算 得 a c b d 这说明两个向量与的差就是与复数 a c b d i对应的向量 结论 1 定义对于复数z1 a bi z2 c di z1 z2 a bi c di a c b d i 2 几何意义复数的差z1 z2与向量的坐标对应 微思考 通过学习复数的加法 我们知道 可以把复数的代数式看成关于 i 的多项式进行运算 那么对于两个以上的复数能否进行减法运算 提示 能运算 方法同加法 预习自测 1 一个实数与一个虚数的差 A 不可能是纯虚数B 可能是实数C 不可能是实数D 无法确定是实数还是虚数 解析 选C 若实数0与纯虚数作差则得纯虚数 故A错 因虚数的虚部不为0 故一个实数与一个虚数的差一定不是实数 2 在复平面内 向量对应的复数为3 4i 点B对应的复数为 2 2i 则向量对应的复数为 A 5 6iB 1 2iC 5 6iD 5 2i 解析 选B 由复数加法运算的几何意义知 对应的复数即为 3 4i 2 2i 即1 2i 3 设f z z z1 3 4i z2 2 i 则f z1 z2 A 1 3iB 2 11iC 2 iD 5 5i 解析 选D 因为z1 3 4i z2 2 i 所以z1 z2 3 4i 2 i 5 5i 又因为f z z 所以f z1 z2 z1 z2 5 5i 4 四边形ABCD是复平面内的平行四边形 A B C三点对应的复数分别是1 3i i 2 i 则点D对应的复数为 解析 在复平面内A B C对应的坐标分别为 1 3 0 1 2 1 设D的坐标为 x y 由于因此有 x 1 y 3 2 2 所以x 1 2 y 3 2 解得x 3 y 5 故点D对应的复数为3 5i 答案 3 5i 5 计算 1 1 i 1 i 2 a bi 2a 3bi 3i a b R 解析 1 1 i 1 i 1 1 i 2i 2 a bi 2a 3bi 3i a 2a b 3b 3 i a 4b 3 i 类型一复数代数形式的加 减运算 典例1 1 已知复数z 3 4i 2 i 1 5i 则复数z在复平面内对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 计算 3 2i 10 5i 2 17i 1 2i 2 3i 3 4i 4 5i 2017 2018i 2018 2019i 解题指南 1 利用复数的加减运算求出z 再看z的实部和虚部判断对应点的位置 2 多个复数相加减 将复数的实部和虚部分别相加减即可 所得结果分别作为实部和虚部 解析 1 选B z 3 2 1 4 1 5 i 2 2i 对应点为 2 2 在第二象限 2 原式 3 10 2 2 5 17 i 5 20i 方法一 原式 1 2 3 4 2017 2018 2 3 4 5 2018 2019 i 1009 1009i 方法二 1 2i 2 3i 1 i 3 4i 4 5i 1 i 2017 2018i 2018 2019i 1 i 将上列1009个式子累加可得1009 1 i 1009 1009i 方法总结 复数代数形式的加 减法运算技巧 1 复数代数形式的加 减法运算实质就是将实部与实部相加减 虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部 因此要准确地提取复数的实部与虚部 2 算式中若出现字母 首先确定其是否为实数 再确定复数的实部与虚部 最后把实部与实部 虚部与虚部分别相加减 3 复数的运算可以类比多项式的运算 若有括号 括号优先 若无括号 可以从左到右依次进行计算 巩固训练 计算 2 3i 4 2i 解析 2 3i 4 2i 2 4 3 2 i 2 i 答案 2 i 补偿训练 1 若f z z 1 i z1 3 4i z2 2 i 求f z1 z2 2 z1 2cos i z2 i2sin 0 2 且z1 z2对应的点位于复平面的第二象限 求 的范围 解析 1 z1 z2 3 4i 2 i 5 3i f z1 z2 5 3i 1 i 6 2i 2 z1 z2 2cos 2sin 1 i 则又 0 2 故 类型二复数加减运算的几何意义 典例2 1 A B分别是复数z1 z2在复平面内对应的点 O是原点 若 z1 z2 z1 z2 则三角形AOB一定是 A 等腰三角形B 直角三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形 2 已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i 4 4i 2 6i 求第四个顶点对应的复数 解题指南 1 利用复数加法 减法几何意义及向量的平行四边形法则与三角形法则 借助 z1 z2 z1 z2 确定三角形AOB的形状 2 根据题设条件可知 第四个顶点有3种不同情况 然后分情况利用复数加减法求解 解析 1 选B 根据复数加 减 法的几何意义 知以为邻边所作的平行四边形的对角线相等 则此平行四边形为矩形 故 OAB为直角三角形 2 如图 设这个平行四边形已知的三个顶点分别为Z1 Z2 Z3 它们对应的复数分别是z1 2i z2 4 4i z3 2 6i 第四个顶点所对应的复数为z4 则 当这个平行四边形是以Z1Z2和Z1Z3为一组邻边时 有所以z4 z1 z2 z1 z3 z1 z4 z2 z3 z1 6 当这个平行四边形是以Z1Z2和Z2Z3为一组邻边时 有 所以z4 z2 z1 z2 z3 z2 所以z4 z1 z3 z2 2 12i 当这个平行四边形是以Z3Z1和Z3Z2为一组邻边时 有 所以z4 z3 z1 z3 z2 z3 所以z4 z1 z2 z3 2 8i 综上所述 这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或 2 12i或2 8i 延伸探究 若将本例 2 中条件改为 如图所示 平行四边形ABCD的顶点A B D分别对应的复数为2i 4 4i 2 6i 求 1 对角线对应的复数 2 对角线对应的复数 解析 1 因为所以对角线对应的复数为 4 4i 2 6i 2 10i 2 因为所以对角线对应的复数为2 6i 2i 4 4i 2i 6 2i 方法总结 复数加减法的几何意义在复数运算中的应用 1 复数加法 减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则 三角形法则有关 因此在求解与平行四边形 三角形有关的复数问题时 主要应根据复数加 减运算的几何意义求解计算 2 由于复数可用向量表示 因而可将复数问题转化为向量问题 利用向量的方法解决 巩固训练 在平行四边形ABCD中 A B C三个顶点所对应的复数分别为3 3i 5i 2 i 求第四个顶点D对应的复数 解析 因为所以所以所以对应的复数为3 3i 2 i 5i 1 9i 所以第四个顶点D对应的复数为1 9i 类型三复数模的最值问题 典例3 1 如果复数z满足 z 3i z 3i 6 那么 z 1 i 的最小值是 A 1B C 2D 2 若复数z满足 z i 1 求 z 的最大值和最小值 解题指南 1 先由 z 3i z 3i 6确定复数z所对应的轨迹 再依据 z 1 i 的几何意义求最小值 2 明确满足条件 z i 1的复数z的几何意义为 圆心为 1 半径为1的圆内区域 包括边界 z 则表示圆面上一点到原点的距离 解析 1 选A 因为 z 3i z 3i 6所以点Z到点A 0 3 与到点B 0 3 的距离之和为6 所以点Z的轨迹为线段AB 而 z i 1 表示为点Z到点 1 1 的距离 数形结合 得最小距离为1 2 如图所示 所以 z max 2 1 3 z min 2 1 1 延伸探究 1 若本例 2 条件改为已知 z 1且z C 求 z 2 2i i为虚数单位 的最小值 解析 因为 z 1且z C 作图如图 所以 z 2 2i 的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P 2 2 的距离 所以 z 2 2i 的最小值为 OP 1 2 1 2 若本例 2 中条件不变 求 z 2 z 2i 2的最大值和最小值 解析 如图所示 在圆面上任取一点P 与复数zA zB 2i的对应点A B相连 得向量再以为邻边作平行四边形 P为圆面上任一点 zP z 则 平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和 所以而所以 z 2 z 2i 2的最大值为27 2 最小值为27 2 方法总结 复数模的最值问题解法 1 z z0 表示复数z z0的对应点之间的距离 在应用时 要把绝对值号内变为两复数差的形式 2 z z0 r表示以z0对应的点为圆心 r为半径的圆 3 涉及复数模的最值问题 可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断 然后通过几何方法进行求解 拓展类型 复数中的轨迹问题及简单应用 典例 1 设z bi b R 若使 z 2 i z 2 3i 的值最小 则b 2 已知复数z满足方程 2z 1 i z 1 求复数z对应点的轨迹 解题指南 1 利用复数的模及复数的几何意义判断 2 设出复数的代数形式 利用模的计算方法转化为轨迹方程 解析 1 由复数的几何意义可知 z 2 i 表示z对应的点与点 2 1 之间的距离 z 2 3i 表示z对应的点与点 2 3 之间的距离 结合图形知 要使距离的和最小 则z为虚轴上的点 0 2 所以b 2 答案 2 2 设z x yi x y R 则 2x 1 2 2y 1 2 x 1 2 y2 整理得 x 1 2 所以复数z对应点的轨迹是以点为圆心 以为半径的圆 方法总结 z z0 z z0 C 几何意义的应用 1 判断点的轨迹 2 利用几何知识解决代数问题 巩固训练 1 M z z 1 1 N z z i z i 则M N 解析 利用复数的几何意义解决问题 在复平面内 z 1 1的几何意义是以点 1 0 为圆心 以1为半径的圆 z i z i 的几何意义是到点A 0 1 和点B 0 1 距离相等的点的集合 是线段AB的垂直平分线 也就是