基于数学史应用的一节高中导数教学设计.doc

基于数学史应用的一节高中导数教学设计摘要：导数的概念与应用的教学中，有些概念及方法不好解释，老师往往强加给学生，学生就产生了想当然的认识，不利于学生创新意识和数学素养的培养，而数学史的应用再现了知识的产生、发展过程，从而充分调动学生思考的积极性，使学生在学习新知识的同时，感受到数学所蕴含的丰富的哲学思想。关键词：数学素养；数学史；变化率；导数数学史在数学教育中有着重要的地位，它在帮助学生理解新知识、新概念，掌握新方法等方面，有着很大的作用，同时在培养数学素养，感受数学精神，养成良好的习惯方面能起到很好的促进作用。本文通过导数概念的引入教学，从一个侧面反映出数学史在高中数学教学中的地位及作用，以求抛砖引玉。一、数学史在高中数学教学中具有突出的重要性与必要性课程标准明确提出：“让学生经历知识的产生、发展过程，感受数学的内涵与本质。”起初觉得执行起来非常困难，也没太大必要。随着经验的积累，笔者的这种想法发生了改变。学习科学能给人以力量，让人们受到鼓舞，获得信念与勇气，然而只是简单而粗糙地“告诉”学生这些科学，显然与新课程标准的精神不相符合。因此，让学生经历这些理论的形成的过程不仅能让学生获得科学知识，更重要的是让学生在学习过程中受到启发，培养勤于思考，勇于创新的能力，不断提高数学素养。实践中，笔者大胆引入了数学史的教学。下面是笔者对该节课的教学设计，节选了其中的教学过程部分。二、导数概念的背景及产生过程（一）教学设想遵循“创设问题情景提出问题分析问题解决问题”的原则。（1）通过具体实例分析，让学生经历用变化率刻画变化的快慢，从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义。（2）通过导数概念的形成过程，理解生活中数学概念的基本发展过程，初步学会用极限的思想分析并解决问题。（3）分析生活中的各种现象最后将其统一为数学中的导数概念过程，认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感。（二）教学过程平均变化率瞬时变化率导数。1.平均变化率的再认识通过教材中的实例分析，让学生理解平均速度可以刻画物体一段时间的运动快慢，并结合相应的图像，体会图像的“陡”“坡”与平均变化率的关系，最后抽象概括出平均变化率的一般数学概念：yf（x1）-f（x0）f（x0+x）-f（x0）xx1-x0x，其中 x=x1-x02.瞬时变化率的认识一方面，让大家理解瞬时速度的产生过程，另一方面，让大家理解切线斜率的产生过程，而这两方面正是牛顿与莱布尼兹的研究过程。问题1：前面我们已经明白平均速度可以刻画物体一段时间内的运动快慢，那么在一点处的速度如何刻画呢？我选择了一个较为简单的例子：若一物体运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为：s=t2，试估计t=5s这个时刻的瞬时速度。学生经过一段时间的思考与分组讨论后，我介绍了相应的数学史：因为瞬时的速度很难测量，直到牛顿的发现，这一难题才得到解决。大家想不想知道牛顿是怎样思考的呢？能否用平均速度近似代替瞬时速度？如果可以，以怎样一个平均速度代替较好的呢？我选择了510s的平均速度，=15m/s，此时的误差难以避免，但是能不能减少误差呢？刚才我选择的区间较大，能不能缩小些呢？大家在我的引导下，选择56s的平均速度，=11m/s，误差缩小了，能不能再减少误差呢？大家发现随着区间的不断缩小，所得平均速度分别为10.1，10.01,10.001,10.0001，越来越接近一个确定的常数10，到底5s处的瞬时速度为多少？很多同学说，近似为10m/s，大约是10m/s。我又问大家什么是大约10m/s，10.1叫大约，10.01也叫大约，10.001还叫大约，可见这种说法还不够科学准确。我告诉大家，如果当初牛顿只停留在无休止的运算当中，就永远也得不到伟大的结果，而只是停留在无休止的量变过程中。其实要完成从量变到质变的飞跃，只需跨出那小小的一步，我们共同想想：如何跨出那小小的一步，完成由量的改变到质的飞跃？那么在5s处的瞬时速度到底是多少呢？“10m/s，不多不少刚刚好。”大家较为整齐地回答。看起来大家好像明白了一些，但还是有疑惑，我就鼓励大家：人类经历这一过程花去了几百年的时间，而现在让大家用十几分钟的时间来理解确实很困难，随着时间的推移，大家的知识不断积累，会慢慢明白这一道理的，而后来恩格斯评价这一飞跃时称：“这是人类精神上的最高胜利。”问题2：如图，p（xo，yo）是f（x）=x2+1图象上一点，那么如何求该图象在p（xo，yo）处的切线的斜率呢？在x0过程中，割线ab的变化情况你能描述一下吗？请在函数图象中画出来。引导学生观察：类比数、形的变化：x0， b（x0+x，f（x0+x）a（x0，f（x0），当x0，割线ab有一个无限趋近的确定位置（演示动画），这个确定位置上的直线叫曲线在x=x0处的切线，请把它画出来。x0，割线ab切线ad，则割线ab的斜率切线ad的斜率有了前面的基础，大家理解起来简单容易得多，但同时也发现两个过程中具有相似之处，就是用无限逼近的思想，完成了由量变到质变的过程。问题3：运用上面的方法求瞬时速度和切线斜率显然太过复杂，能否简化解题步骤呢？这样的问题是为了下节课导数的运算法则提供知识和思维的准备。最后我让大家谈谈本节课的体会和收获，很多同学都谈到了收获知识的同时，感受到科学发现不仅需要勤奋不懈，更需要巨大的胆识与异于常人的勇气。三、课后评价与反思本节课在整个教学设计过程中始终围绕一个主题探究前人伟大发现的足迹，再现当年历史。在教学过程中，让同学们感受到数学历史的发展，以及蕴涵在数学中深刻而丰富的哲学思想。通过这节课的学习，给学生以鼓舞与信心，促使他们达到端正学习态度的目的。数学史在教学中的应用在高中阶段可以说无处不在，除了导数与积分外，像指数函数与对数函数、数列、简单线性规划等，都与数学史息息相关。在平时的教学教研活动中，教师如果能进一步探讨