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2011年湖北省高中数学竞赛预赛模拟试卷一、填空题1已知，则 解：，则，即2函数，则的值域是： 解：所以的值域是：3设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是 解：由知，再由知所以当时，；当时，且由，知最大4已知O是ABC的外心，若，则 解： 因为O是ABC的外心，所以于是有ABCDA1B1C1D1MNEFQO，即，解得故5已知正方体棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱CC1和A1D1的中点则四面体的体积为 解： 如图，过O作AB的平行线分别与棱AD，BC交于E，F，连结BE，并取BF的中点Q易知OQBEB1M 则OQ平面MNB1 故又故6设，且，则符合条件的共有_组（注：顺序不同视为不同组）解： 画出韦恩图，先排元素1，2，选择区域p或q，各有2种选法；再排元素3，4，选择区域n或t或s或r，各有4种选法；再排5，6，可供选择的区域为m，n，t，s，r，各有5种选法因此，符合条件的共有组7设，其中为实数，则的最小值为_ _解：令，则，其中，且当时，此时（等号不能取到，因为当时等号成立，已经超出的取值范围了）当时，等号在时取到上面的讨论表明，的最小值为8设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是 解：集合中的元素组成以3为公差的等差数列，其中首项为，末项为，设共有n项由，得 二、解答题1设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：证：（1）在已知关系式中，令，可得；令，可得； 令，可得； 又由得即，代入，化简得（2）由得：，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以2已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点(1) 证明：直线AB恒过定点Q；(2) 若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：证： (1)设，则由得，所以于是抛物线C在A点处的切线方程为，即设，则有设，同理有所以AB的方程为，即所以直线AB恒过定点 (2) PQ的方程为，代入，得设，则 要证，只需证明，即, 由知，式左边=故式成立，从而结论成立3设为正实数，且证明：证： 因为，要证上不等式成立等价于证明事实上由柯西不等式知 （1） 而 （2）综合上述几个不等式则得证原不等式4求不定方程的正整数解的组数解：令，则先考虑不定方程满足的正整数解，当时，有，此方程满足的正整数解为当时，有，此方程满足的正整数解为不定方程满足的正
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