高中数学第2章圆锥曲线2.12.2.1直线的参数方程学案北师大版选修4_.doc

1参数方程的概念2直线和圆锥曲线的参数方程2.1直线的参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)基础初探教材整理1参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数，并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0叫作曲线的普通方程.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的变数.()(2)参数与变量x，y间存在函数关系.()(3)点M(2,1)在曲线(t为参数)上.()【解析】(1)参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没有实际意义的变数.(2)在参数方程中，参数与x，y存在函数关系.(3)x2时，22t得t1，而y1时t01，故点(2,1)不在曲线上.【答案】(1)(2)(3)教材整理2直线的参数方程1.经过点P(x0，y0)，倾斜角是的直线的参数方程为(t为参数).其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段的数量来表示.2.经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1x2)的直线的参数方程为(为参数，1).其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数的几何意义与参数方程中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段的数量比.当0时，M为内分点；当0时，且1时，M为外分点；当0时，点M与Q重合.填空：(1)过点(0,0)且倾斜角为60的直线的参数方程是_.(2)参数方程(t为参数)表示的直线的倾斜角是_.【解析】(1)即(t为参数).(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20.【答案】(1)(t为参数)(2)20 质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型求动点轨迹的参数方程如图221所示，OA是定圆的直径，长2a，直线OB与圆交于M1，和过A点的切线交于点B，MM1OA，MBOA，MM1与MB交于点M，与OA交于点C，以O为原点，OA为x轴的正半轴，求动点M轨迹的参数方程.图221【精彩点拨】引入弦OM1与x轴的夹角为参数，由解三角形知识将动点M(x，y)的坐标x，y分别用角表示，从而得到轨迹的参数方程.【自主解答】设点M的坐标为M(x，y)，弦OM1与x轴的夹角是，取为参数，连结AM1，则有AM1OM1，OC2acos cos 2acos2 ，AB2atan ，(为参数)，这就是所求的点M的参数方程.求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量x，y之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.再练一题1.过抛物线y24px(p0)的顶点作互相垂直的两弦OA，OB，求AB中点P的轨迹方程.【解】设OA的斜率为k(k0)，则解得A点坐标为.由解得B点坐标为(4pk2，4pk).设AB的中点为P(x，y)，则(k为参数)，消去k得中点P的轨迹方程为y22p(x4p)(p0).求直线的参数方程已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角120.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l与直线xy10的交点.【精彩点拨】根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角120.代入得该直线的参数方程.然后与xy10联立可求得交点.【自主解答】(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数).(2)把代入xy10，得3t4t10，得t0.把t0代入得两直线的交点为(3,4).求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用(t为参数)求；若已知两个定点，利用(为参数，1)求.再练一题2.设直线l过点P(3,3)，且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：(为参数)交于A，B两点，求|PA|PB|.【解】(1)直线l的参数方程为(t为参数).(2)把曲线C的参数方程中参数消去，得4x2y2160.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得422160，即13t24(312)t1160.由t的几何意义，知|PA|PB|t1t2|，故|PA|PB|t1t2|.探究共研型直线参数方程的应用探究1直线参数方程(为参数)中参数的几何意义怎样理解？【提示】直线参数方程中参数t表示直线上以定点P为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量，当点M在点P上方时，t0；当点M在P的下方时，t0；当点M与P重合时，t0.我们也可以把参数t理解为以P为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.探究2直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x0，y0)，斜率为时的直线参数方程怎样？【提示】直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点P(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a，b为常数，t为参数).当a2b21时，参数方程为标准形式，|t|的几何意义是有向线段P的长度；当a2b21时，参数方程的标准形式为其中t具有标准参数方程中参数的几何意义.探究3当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？【提示】在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，比利用直线l的普通方程来解决更为方便.如图222所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：图222(1)P，M间的距离|PM|；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长|AB|.【精彩点拨】先求得直线l的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程，得到关于参数t的一元二次方程，再利用参数t的几何意义，逐个求解.【自主解答】(1)直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为，则tan ，cos ，sin ，直线l的参数方程的标准形式为(t为参数).(*)直线l和抛物线相交，将直线l的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，15248500.设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1t2，t1t2.由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|.(2)因为中点M所对应的参数为tM，将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，得即M.(3)|AB|t1t2|.在求直线l与曲线C：f(x，y)0的交点间的距离时，把直线l的参数方程代入f(x，y)0，可以得到一个关于t的方程f(x0tcos ，y0tsin )0.假设该方程的解为t1，t2，对应的直线l与曲线C的交点为A，B，那么由参数t的几何意义可得|AB|t1t2|.(1)弦AB的长|AB|t1t2|.(2)线段AB的中点M对应的参数t(解题时可以作为基本结论使用).再练一题3.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆2相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积.【解】(1)直线l的参数方程为即(t是参数).(2)圆2的普通方程为x2y24.把直线代入x2y24，得224.整理得t2(1)t20，点P到A，B的距离之积为|t1|t2|t1t2|2.构建体系1.直线(t为参数)的倾斜角等于()A.40B.50C.45D.135【解析】根据tan 1，因此倾斜角为135.【答案】D2.曲线(t为参数)与坐标轴的交点是() 【导学号：12990021】A.，B.，C.(0，4)，(8,0)D.，(8,0)【解析】当x25t0时，解得t，可得y12t，当y12t0时，解得t，可得x25t，曲线与坐标轴的交点坐标为，.【答案】B3.过点P(4,0)，倾斜角为的直线的参数方程为_.【解析】直线l过点P(4,0)，倾斜角，所以直线的参数方程为即【答案】4.已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_.【解析】由得xy10.圆心C(1,0)，又圆C与直线xy30相切，r，圆C的方程为(x1)2y22.【答案】(x1)2y225.过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为的直线，它与抛