高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征学案北师大版选修2_1.doc

4.2圆锥曲线的共同特征学习目标1.理解椭圆、双曲线的第二定义.2.了解圆锥曲线的共同特征.3.会用圆锥曲线的统一定义解决问题.知识点一椭圆的第二定义思考椭圆是如何定义的？(第一定义)梳理(1)定义：平面内到一个定点F(c,0)的距离与到一条定直线l：x(ac0)的距离之比为常数_的点的轨迹为椭圆(点F不在直线l上)，其标准方程为1(ab0).其中，定点F(c,0)为椭圆的右焦点，定直线x为椭圆的_，常数就是椭圆的_.(2)两点说明在上述定义中，只有当0e1时才表示椭圆.焦点与准线的对应关系：对于椭圆1(ab0)，左焦点F1(c,0)对应的准线为直线x，右焦点F2(c,0)对应的准线为直线x；对于椭圆1(ab0)，上焦点F2(0，c)对应的准线为直线y，下焦点F1(0，c)对应的准线为直线y.知识点二双曲线的第二定义思考双曲线的第一定义是什么？梳理(1)双曲线的第二定义内容平面内到一个定点F(c,0)的距离与到一条定直线l：x(ca0)的距离之比为常数的点的轨迹为双曲线(点F不在直线l上)，其标准方程为1(a0，b0).其中，定点F(c,0)是右焦点，定直线l：x是右准线，常数就是双曲线的离心率e.(2)两点说明在上述定义中，只有当e1时才表示双曲线.左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于双曲线1(a0，b0)，对应焦点F1(c,0)的准线方程为x，对应焦点F2(c,0)的准线方程为x.知识点三圆锥曲线的共同特征统一定义圆锥曲线上的点M到一个定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比为定值e.当0e1时，圆锥曲线是_；当e1时，圆锥曲线是_；当e1时，圆锥曲线是_.此即为圆锥曲线的统一定义.类型一由圆锥曲线的共同特征确定曲线的形状及方程例1方程|xy2|表示的曲线是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.不能确定反思与感悟在圆锥曲线的共同特征中，曲线上的点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一常数，这本身就是一个几何关系.由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线的方程.可以根据常数的大小(与1比较)来判断所求轨迹是什么曲线.跟踪训练1已知动点M(x，y)到点F(2，0)与到定直线x6的距离之比为，求点M的轨迹方程.类型二依据圆锥曲线的性质求其方程例2根据下列条件分别求椭圆的标准方程.(1)经过点(1，)，且一条准线为直线x5；(2)两准线间的距离为，焦距为2.反思与感悟圆锥曲线的准线方程是圆锥曲线的一个几何性质，已知准线方程可得a，c之间的一个关系式，结合其他已知条件可求出圆锥曲线的标准方程.跟踪训练2已知双曲线的渐近线方程为3x4y0，一条准线的方程为5y30，求此双曲线的方程.类型三椭圆、双曲线的第二定义及应用例3椭圆1(ab0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0， B.(0，C.1,1) D.，1)反思与感悟椭圆(双曲线)上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径.(1)椭圆的焦半径公式当椭圆的焦点在x轴上时，设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P(x0，y0)是椭圆上任一点，则|PF1|aex0，|PF2|aex0.推导如下：由统一定义，得e(d1为点P到左准线的距离)，则|PF1|ed1e(x0)aex0.同理，得|PF2|aex0.简记为：左“”右“”.同理可知，当椭圆的焦点在y轴上时，焦半径公式为|PF1|aey0，|PF2|aey0(F1为下焦点，F2为上焦点).综上可知，过焦点的弦的弦长仅与焦点弦中点的横坐标有关.(2)双曲线的焦半径公式对于双曲线1(a0，b0)(F1为左焦点，F2为右焦点)：若点P(x1，y1)在左支上，则|PF1|aex1，|PF2|aex1；若点P(x1，y1)在右支上，则|PF1|aex1，|PF2|aex1.对于双曲线1(a0，b0)(F1为下焦点，F2为上焦点)：若点P(x1，y1)在下支上，则|PF1|aey1，|PF2|aey1；若点P(x1，y1)在上支上，则|PF1|aey1，|PF2|aey1.跟踪训练3已知双曲线x23y23上一点P到左，右焦点的距离之比为12，求点P到右准线的距离.1.椭圆y21的准线方程为()A.x B.xC.y D.y2.若双曲线1(a0，b0)的两个焦点到一条准线的距离之比为32，则双曲线的离心率是()A.3 B.5 C. D.3.如果双曲线1上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是_.4.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.5.已知椭圆1上一点P到直线x的距离等于10，求它到点(8,0)的距离.应用椭圆和双曲线的第二定义，解题时需要注意“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(0e1或e1)”，其中“定点”是指焦点，“定直线”是指相应准线.一定要注意“左焦点对应左准线，右焦点对应右准线”.椭圆、双曲线的定义从不同的角度反映了椭圆、双曲线的特征，解题时要灵活运用.一般地，如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第一定义，如果遇到有动点到一定点与一定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第二定义.椭圆、双曲线的第二定义揭示了椭圆、双曲线上的点到焦点的距离与它到对应准线距离的关系，因此可以把椭圆、双曲线上一点到焦点的距离转化为到其准线的距离.提醒：完成作业第三章44.2答案精析问题导学知识点一思考我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.梳理(1)右准线离心率e知识点二思考我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用2a(a0)表示，焦距常用2c(c0)表示.知识点三椭圆抛物线双曲线题型探究例1C跟踪训练1解由题意得 ，整理，得1，即为点M的轨迹方程.例2解(1)因为椭圆的一条准线为直线x5，所以椭圆的焦点在x轴上.设椭圆的标准方程为1(ab0).根据题意，得解得或故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)根据题意，得解得故所求椭圆的标准方程为1或1.跟踪训练2解由题意得双曲线的准线方程为y，渐近线方程为3x4y0.设双曲线的标准方程为1.根据题意，得设a3k，b4k(k0)，则c5k，代入，得a，b.故所求双曲线的方程为1.例3D跟踪训练3解设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，则解得设点P到右准线的距离为d，则，d6，即点P到右