19.2特殊的平行四边形（通用）.docx

菱形讲义菱形知识精讲一菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形二菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：1菱形的四条边都相等；2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角3是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线三菱形的判定1有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；2对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3四条边都相等的四边形是菱形四面积问题如下图：三点剖析一考点：1菱形的性质；2菱形的判定；3面积问题二重难点：菱形的性质和应用，菱形的证明与判定三易错点：矩形和菱形性质的区别例题讲解一：性质例1.1.1如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且A=EDF=60，有下列结论：AE=BF；DEF是等边三角形；BEF是等腰三角形；ADE=BEF，其中结论正确的个数是_A3B4C1D2【答案】D【解析】连接BD，四边形ABCD是菱形，AD=AB，ADB=ADC，ABCD，A=60，ADC=120，ADB=60，同理：DBF=60，即A=DBF，ABD是等边三角形，AD=BD，ADE+BDE=60，BDE+BDF=EDF=60，ADE=BDF，在ADE和BDF中，ADEBDF（ASA），DE=DF，EDF=60，EDF是等边三角形，正确；DEF=60，AED+BEF=120，AED+ADE=180-A=120，ADE=BEF；故正确ADE=BDF，同理：BDE=CDF，但ADE不一定等于BDE，AE不一定等于BE，故错误；ADEBDF，AE=BF，同理：BE=CF，但BE不一定等于BF故错误故选D例1.1.2如图，在菱形ABCD中，BAD=80，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则CDF等于（）A50B60C70D80【答案】B【解析】如图，连接BF，在菱形ABCD中，BAC=BAD=80=40，BCF=DCF，BC=CD，BAD=80，ABC=180-BAD=180-80=100，EF是线段AB的垂直平分线，AF=BF，ABF=BAC=40，CBF=ABC-ABF=100-40=60，在BCF和DCF中，BCFDCF（SAS），CDF=CBF=60故选B例1.1.3已知四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F（1）求证：AOECOF；（2）若EOD=30，求CE的长【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，AO=CO，ADBC，OAE=OCF，在AOE和COF中，AOECOF（ASA）；（2）BAD=60，DAO=BAD=60=30，EOD=30，AOE=90-30=60，AEF=180-DAO-AOE=180-30-60=90，菱形的边长为2，DAO=30，OD=AD=2=1，AO=，AE=CF=，菱形的边长为2，BAD=60，高EF=2=，在RtCEF中，CE=二：判定例1.2.1如图，在ABCD中，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的是（）AAB=BCBACBDCBD平分ABCDAC=BD【答案】D【解析】四边形ABCD是平行四边形，A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD是菱形，故本选项正确；B、当ACBD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得ABCD是菱形，故本选项正确；C、当BD平分ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD是菱形，故本选项正确；由排除法可得D选项错误故选D例1.2.2如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是（ ）A四边形是梯形B四边形是菱形C对角线D【答案】D【解析】在四边形中，分别是的中点，；同理，四边形是平行四边形；A、若四边形是梯形时，则，这与平行四边形的对边相矛盾；故本选项错误；B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误；C、若对角线时，四边形可能是等腰梯形，证明同选项；故本选项错误；D、当时，；所以平行四边形是菱形；故本选项正确故答案为D选项例1.2.3如图在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分BAC，分别于BC、CD交于E、F，EHAB于H连接FH，求证：四边形CFHE是菱形【答案】见解析【解析】证明：ACB=90，AE平分BAC，EHAB，CE=EH，在RtACE和RtAHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，AE平分CAB，CAF=HAF，在CAF和HAF中CAFHAF（SAS），ACD=AHF，CDAB，ACB=90，CDA=ACB=90，B+CAB=90，CAB+ACD=90，ACD=B=AHF，FHCE，CDAB，EHAB，CFEH，四边形CFHE是平行四边形，CE=EH，四边形CFHE是菱形例1.2.4已知：如图，在ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点0（1）求证：ABECDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）菱形【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，BAE=DCF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，AE=CF，DE=BF，四边形BEDF是平行四边形，OB=OD，DG=BG，EFBD，四边形BEDF是菱形三：面积问题例1.3.1已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是43，则这个菱形的面积是（ ）A12cm2B24cm2C48cm2D96cm2【答案】B【解析】该题考查的是菱形的性质四边形ABCD是菱形四边形ABCD四边长相等，且对角线互相垂直且平分，该菱形周长为20cm它的每个边长为5cm两条对角线的比是由勾股定理，算出，两平分线长度分别为6cm，8cm；菱形面积故本题答案为B5cm3k4kBOACD例1.3.2如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6若过点A作AEBC，垂足为E，则AE的长为_A4BCD5【答案】C【解析】连接BD，交AC于O点，AB=BC=CD=AD=5，ACBD，AO=AC，BD=2BO，AOB=90，AC=6，AO=3，B0=4，DB=8，菱形ABCD的面积是ACDB=68=24，BCAE=24，AE=随堂练习1.1如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OHAB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A2BCD【答案】D【解析】四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，BO=3，AO=4，AOBO，AB=5OHAB，AOBO=ABOH，OH=，故选D1.2如图，菱形ABCD中，于点E，且，连接FC，则的度数为_度.ACBDEOF【答案】15【解析】，CDF是等腰直角三角形，1.3如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若DAC=28，则OBC的度数为（）A28B52C62D72【答案】C【解析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得AMOCNO，可得AO=CO，然后可得BOAC，继而可求得OBC的度数四边形ABCD为菱形，ABCD，AB=BC，MAO=NCO，AMO=CNO，在AMO和CNO中，AMOCNO（ASA），AO=CO，AB=BC，BOAC，BOC=90，DAC=28，BCA=DAC=28，OBC=90-28=62故选：C1.4已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F（1）求证：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长【答案】（1）见解析（2）16【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，BAC=DAC又EFAC，AC是EM的垂直平分线，AE=AM，AE=AM=AB=AD，AM=DM（2）解：ABCD，AEM=F又FMD=AME，AME=AEM，FMD=F，DFM是等腰三角形，DF=DM=ADAD=4菱形ABCD的周长是161.5如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD求证：四边形OCED是菱形【答案】见解析【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是矩形，OC=OD，四边形OCED是菱形1.6若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是_A矩形B等腰梯形C对角线相等的四边形D对角线互相垂直的四边形【答案】C【解析】如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG，BD=AC原四边形一定是对角线相等的四边形故选：C1.7如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，A=90，MDO=NBO，DMO=BNO，在DMO和BNO中，DMOBNO（AAS），OM=ON，OB=OD，四边形BMDN是平行四边形，MNBD，平行四边形BMDN是菱形（2）四边形BMDN是菱形，MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在RtAMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8-x）2+42，解得：x=5，答：MD长为51.8如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（）A 48B 96C 80D 192【答案】B【解析】四边形ABCD是菱形，