高一数学平面向量.doc

2.1 平面向量的实际背景及基本概念 （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a，规定： a + 0-= 0 +aa aABCa+ba+baabbaa探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|0时与方向相同；0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-1 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)c = ac + bc 说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（）()三、讲解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，则cosq = q = 60例评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角二、讲解新课： 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示.设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2. 平面内两点间的距离公式二、 设，则或.（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)三、 向量垂直的判定设，则四、 两向量夹角的余弦（） cosq =五、 讲解范例：例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = -4的向量x. 解：设x = (t， s)， 由 x = (2， -3)例4 已知a（，），b（，），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角的范围确定其值.解：由a（，），b（，）有ab（），a，b记a与b的夹角为，则又，评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 例6 在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A