八年级数学竞赛例题专题-相对相称—对称分析法.doc

八年级数学竞赛例题专题-相对相称对称分析法 专题26 相对相称对称分析法阅读与思考 当代美国数学家赫尔曼 韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）. 对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式 ， 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决. 2.几何图形的对称 几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.例题与求解【例l】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是 . (荆门市中考试题) 解题思路：作M关于AC的对称点 ，连MN交AC于点P，则PM+PN的值最小. 【例2】已知 ， 均为正数，且 ，求W= 的最小值. （北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求W的最小值较繁， 的几何意义是以a，b为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.【例3】已知 ，求证： （四川省竞赛试题）解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证【例4】 如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且ACBD，已知OAOC，OBOD，求证：BCADABCD . （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折 【例5】如图，矩形ABCD中，AB20厘米，BC10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BMMN的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题） 解题思路：要使BMMN的值最小，应该设法将折线BMMN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手. 能力训练1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴. 若AFCBCF ，则AFEBCD的大小是 . (武汉市中考试题) (第1题图) （第2题图） （第3题图）2.如图，矩形纸片ABCD中，AB2，点E在BC上，且AEEC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 . (济南市中考试题)3. 如图，AOB ，P是AOB内一点，PO10，Q，P分别是OA、OB上的动点，则PQR周长最小值是 .4. 比 大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE2，P在BD上，则PEPC的最小值为（ ）. A B C D 6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) . A1个 B2个 C3个 D4个 (南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（ ）.A 英里 B16英里 C17英里 D18英里 （美国中学生竞赛试题） (第5题图) （第7题图） （第8题图）8.如图，等边ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设PAPM的最大值和最小值分别为S和L，则 等于（ ）A B C D 9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知 = ，求 与 的值. （江苏省竞赛试题） 10. 求代数式 的最小值. （“希望杯”邀请赛试题）11. 在一平直河岸 同侧有 两个村庄， 到 的距离分别是3km和2km， 现计划在河岸 上建一抽水站 ，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 ，且 （其中 于点 ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为 ，且 （其中点 与点 关于 对称， 与 交于点 ）观察计算（1）在方案一中， km（用含 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含 的式子表示）探索归纳（1） 当 时，比较大小： （填“”、“”或“”）； 当 时，比较大小： （填“”、“”或“”）；（2）对 （当 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？ (河北省中考试题)12如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）（1）若P（ ，0）是 轴上的一个动点，当PAB的周长最短时，求 的值；（2）若C（ ，0），D（ ，0）是 轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M，N分别为 轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（ ，0）、N（0， ），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由 13.在ABC中，BAC45，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD1，CD2，试求四边形AEMF的面积 (宁夏中考试题)14. 阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD8cm，AB6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45 的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45 的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45 的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45 的方向作直线运动如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？ 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3P2E，P1AP1E 请你参考小贝的思路解决下列问题： (1) P点第一次与D点重合前与边相碰 次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 cm (2) 进