2011年高考热门考点-射影问题最新整理.doc

投影问题 内容：立体几何中的投影问题引子：上小学的小明和小胖为在太阳下的影子问题吵翻了，找到上高中的二牛评理；小明说：我早上上学时看到我的影子朝西边，可小胖硬说影子朝东边。小胖说：我昨天下午回家时确实看到影子朝东边。二牛听后说你们俩都对。他们俩半信半凝。同学们，你们能给小明和小胖说清楚吗？投影问题可分为两类一 正投影问题解决这类问题总是过投影点向线或面作垂线1.直角三角形ABC的直角顶点C在平面内，斜边AB，A、B在内的射影分别为A、B，（1）求证：ABC是钝角三角;（2）当AC，BC与平面所成的角分别为30o和45o时,求cosACB的值.2A、B分别是60o的二面角-l-的面、上的点，AA1于A1，BB1于B1，A1B1到l的距离分别为a、b，A、B在棱l上的射影间的距离为c(如图)，求AB的长。3ABCD是矩形，四个顶点在平面内的射影分别A、B、C、D，直线AB与CD不重合。（1）求证：ABCD是平行四边形；（2）在怎样的条件下ABCD也是矩形？并证明你的结论。4设正四棱锥P的底是边长为2 的正方形，高为h，平面平行于正方形的一条对角线，与P的底面交角为，把P正投影到上，问为多大时，所得图形的面积最大？最大值是多少？二.影子长和面积问题解决这类问题总是过物体外缘作光线的平行线与地平面相交5北纬38o的开阔平地上，在楼高为H的楼房北面盖新楼，欲使新楼底层全年太阳光线不被遮档，两楼距离应不小于多少？6抗洪抡险战士在炎热的夏天准备盖一个遮阳棚，决定利用一面南北方向的墙，如图中平面BG表示，上面用AC=3m,BC=4m,AB=5m的角钢焊成（将AB放在墙上），他们认为从正西方向射出的太阳光线与地面成75o角时，气温最高，要使此时遮阳棚的遮阳面积最大，遮阳棚ABC面与水平面应成多大角度？练习1.点光源S与屏幕之间有一个直径为2的小球，球心O与点光源S连线与屏幕垂直，O点到S与屏幕之间的距离都是2,则该球在屏幕上的投影的阴影面积为2.如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,ABCDEFA1B1C1D1则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_.(要求:把可能的图的序号都填上)3.ABC是边长为2的正三角形，BC平面，A、B、C在平面的同侧，它们在内的射影分别为A、B、C,若ABC为直角三角形，BC与间的距离为5,则A到平面的距离为_.4.地球半径为R，卫星电波能直射到地球表面三分之一，则卫星高度为_.5.在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120o.若要光源恰照亮整个广场，其高度应为_.6在阳光下，一个大球放于水平地面上，球的影子伸长到距球与地面接触点10米远，同一时刻，一根竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，求球的半径。7从平面外一点P向平面引垂线PO和斜线PA、PB，垂足为O，斜足为A、B，PA、PB和平面所成角的差为45o,且在平面上的射影长分别为2和12，求PO的长8.已知直角三角形ABC的斜边BC在平面内，两直角边AB，AC与都斜交，A在上的射影是O（O不在BC上），求证：BOC是钝角。ABC9（1）若直角ABC的一边BC平行于平面，另一边AB和平面斜交（如图），求证：ABC在平面上的射影仍是直角；（2）直角ABC的一条边AB和平面斜交，另一边BC不在平面内，若ABC在上的射影仍是直角，求证：BC。10已知平面/平面，点AC，BD为夹在,间的两斜线段（A，B在内，C，D在内）且AC=37，BD=125，AC在上的射影长为12，求BD在上的射影长. MNABC11.已知二面角-MN-为60o,A,B,BC为AB在上的射影，且C在棱MN上，AB与所成角为60o,且AC=，MCB=45o，求线段AB的长。12求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心。13在三棱锥P-ABC中，已知棱PC，AC，BC两两互相垂直，且PAC=30o,PB=,BC=3(如图)（1）求二面角B-PA-C的度数；（2）设C点在面PAB上的射影为O，求点O到面PAC的距离。PABC15.已知VC是所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于的高CD上之间的距离为（1）证明MDC是二面角MABC的平面角；（2）当MDC=CVN时，证明VC；（3）若MDC=CVN=，求四面体MABC的体积（2001高考试题）折叠问题要点：解决此类问题应同时画出折叠前的平面图形和折叠后的空间图形，进行对照分析。凡在折叠后的图形中添加的辅助线，都应在折叠前的平面图形中画出，对有关的线段、角度的数量关系作出正确的判断，掌握哪些发生了变化，哪些没有发生变化。典型例题例1等腰直角ABC和直角BCD有公共边BC，其中BAC=90o，BCD=90o，CBD=30o,BC=,今以BC为棱的成大小为的二面角。（1）求翻折后线段AD的长；（2）当点A在平面BCD上的射影在BD上时，求的正弦值。AABCDBCDC，例2如图，在矩形ABCD中，沿对角线BD把BCD折起，使C移到C1点，且C1在平面ABC上的射影O恰好在AB上。（1）求证：A C1B C1；（2）求AB与平面B C1D所成的角的正弦值。BADC例3在ABC中，ACB=90o，BC=a,AC=b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A-CD-B后，D在什么位置时，AB为最小？最小值是多少？例4.在矩形ABCD中，AB= a,AD=b,ab,P是CD上的点，设BAP=，沿AP把它折成直二面角D-AP-B后，（1）求BD=f()的函数式；（2）为何值时，BD为最小，最小值是多少？CDPBA 练习1右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，平行 CN与BE是异面直线 CN与BM成角DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（A）（B） （C）（D）2ABCD是边长为1的正方形，E、F分别是BC，CD的中点，P沿AE，EF，AF折起，使B，C，D重合于P，则二面角P-EF-AAFD的余弦值为3上题中三棱锥P-AEF的体积为BCE4已知边长为a 的菱形ABCD中，BAD=30o，今沿对角线AC将菱形折成60o的二面角，则AC与BD间的距离等于_.5在平行四边形ABCD中，已知AD=a,AB=2a, DAB=60o,M,N分别为AB，CD的中点，以MN为轴将AMND旋转120o，求三棱柱CDN-BAM的侧面积和体积。DNCDNCABAMBMC6.如图，CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高，BD=2AD，把ACD绕CD旋转到A，CD的位置，使二面角A，-CD-B为60o，（1）求证：平面A，BC平面A，CD；（2）求异面直线A，C与BD所成的角的余弦值。ADBA，7在ABC中，ACB=90o，AC=2，BC=3，P是AB上的点，沿PC把APC折起，使二面角A-PC-B为直二面角后，若AB=。（1）求ACP的大小；（2）求二面角P-AC-B的平面角的正切值。8BD是边长为a 的正方形ABCD的对角线，沿BD把ABD折起，使二面角A-BD-C为120o.(1)求二面角A-CD-B的余弦值；（2）求三棱锥A-BCD的体积。9ABCD是边长为a的正方形，M，N分别是边DA，BC上的点，MN/AB，交AC于点O，沿MN折成直二面角AB-MN-CD。（1）求证：不论MN怎样平行移动，AOC的大小不变；（2）MN在怎样的位置时，BD为最小，最小值是多少？ 重要方法1割补法例1求证：四面体的两组对棱中点共面，且该平面把四面体分成等积的两部分。ABSCFE例2如图，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角。2等积法：例3三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，长依次为a,b,c。证明：（1）若P到底面ABC的距离为h,则（2）若Q为底面ABC上任意一点，Q到三个侧面的距离QD，QE，QF分别为x,y,z,则。3类比法：例4已知A为60o二面角-l-内一点，点A到两面的距离分别为2和3，点P，Q分别在，内，求APQ的周长的最小值。例5正方体AC1的边长为a，E，F分别为CD，B1C1的中点，线段EF交正方体内切球O于P，Q两点，求弦PQ长。 练习1在平行六面体交于一点A的三条棱上分别取中点E、F、G，则棱锥A-EFG的体积是平行六面体体积的2在球面上有四点P，A，B，C，如果PA=PB=PC= a，且PA，PB，PC两两互相垂直，则这个球的体积是_.3三棱锥P-ABC中，PABC，PA=BC=a,PA和BC的公垂线长为l，求三棱锥P-ABC的体积。APQBCC1B1A14在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1=3，P，Q分别是棱AA1，B1C1上的点，AP=1，PQ与面A1ABB1，B1BCC1都成30o角（如图），求该三棱柱的体积。ADOP5正三棱锥P-ABC的底面中心是O，D是OC的中点，过D点作截面EFG与OC垂直（如图），求该截面将棱锥分成的两部分之比。CB 不等式练习 （1）一选择题1.若ab 则下列结论中正确的是 ( )(A) (B) 当cd时a-cb-d (C) (D)2.若-1ab0 则下列结论中正确的是 ( )(A)(B)(C)(D)3.若 则下列各式中恒成立的是 ( )(A)(B) (C) (D) 4.下列不等式 中恒成立的是( )(A) (B) (C) (D) 5.若,则不等式 等价于 ( ) (A) (B) (C) (D) 6.若0a1 0b1 比较 的大小. 不等式练习 （2）用比较法证明下列不等式1.已知 a0 b0 求证: 2.3. 4.已知5. ) 6.求证:7.求证: 8.已知abc 求证:9.已知a b c都是正数,求证: 不等式练习 （3）1.已知a.bR,且a.b0,则在 这四个式子中,恒成立的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42.设a.b为正数,且a+b4, 则下列个式中正确的一个是 ( )(A) (B) (C) (D) 3.已知a,b,c都大于1,且则下列不等式中一定正确的是 ( ) (A) acb (B) abc (C) bca (D) abc4. a,b,c,dR+,则_ _ 5.若x0,则,则x+_6.若0a1,0b1,0b0) (D) (a0,b0,)2.若则x+y的最小值是 ( ) (A)8 (B) (C)4 (D) 23.若x0 则的最大值是 ( ) (A) 5 (B) 3 (C) 1 (D) 4.已知x,y且则x+y的最大值等于_.5.若a (x0 y0 a1) 则 的最大值是_.6.若x1则的最小值是_此时x=_.7.若x0则的最小值是_,此时 x=_.8.若正数a,b满足=1 则的最大值为_此时a=_b=_.9.若的最小值是_.此时x=_.10.若的最大值是_.此时x=_.11.的最大值为_.12.的最小值为_.13.甲乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小 时的运输成本由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a.(1)把全程运输成本表示为速度v的函数,并指出定义域;(2)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?1. 若xy0,证明 2.求证:3.若x-1 求证: 4. 求证:()5. 若|x|1 |y|1 求证: 6.求证: ( a,b.c) 7.若中至少有一个小于28.若 求证方程两根的绝对值均小于1 9.已知函数f(x)是R上的增函数, (1) 证明:如果那么 (2) 判断(1)中的逆命题是否成立,并证明你的结论. 练习21 13.甲乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小 时的运输成本由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a.(1)把全程运输成本表示为速度v的函数,并指出定义域;(2)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?解：（）由题意得，4分 整理得 6分 （）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即 9分 解不等式得 （名师培训班数学专题讲座）高考运用问题 运用问题千变万化，涉及知识面广，牵涉知识点多。但大致可分为：图表、最值、增长率（或利息、利润）、相关学科综合等类型。下面举例说明： 图表问题近几年特别热，以后还有热的趋势。解决这类问题需要多看课外书，了解各方面的信息，否则将看不董图表。例1.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 (2001年高考题) A. 26 B. 24 C. 20 D. 19. 全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15% 例2.中华人民共和国个人所得税法规定,公民全月工资, 薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累进计算: 某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于 (2000年高考题)A. 1200-1500元 B. 900-1200元 C.800-900元D. 1500-2800元150100250300150250ot100200300o100200300例3.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二表示的抛物线段表示. (2000年高考题) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和成本的单位:元/102kg,时间单位:天) H练习1 如图，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时漏斗盛满液体经过3分钟漏完。已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是DCBAtH tHtHtH2.向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是VABCDhH 最值问题一般进行“三步曲”：设变量、列式子、求最值（可用配方法、判别式法、重要不等式、解不等式等方法）例3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白。怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?(2001年文科高考题)例4. 如图，铁路线上AB段长100公里，工厂C到铁路的距离CA为20公里。现在要在AB上C某一点D处，向C修一条铁路，已知铁路与公路的每吨公里的运费之比为非作歹3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，D点应选在何处？ BDA练习 12 2 13.要挖一个面积为800m2的长方形鱼池，并在四周修出分别为1m、2m的小路，（如图）则怎样挖占地总面积最小?800m24.要建造一个容积为定值的无盖圆柱水池。（1）问水池尺寸如何选取，才能使所用材料最省？（2）若底材料成本30元/米2,池壁材料成本20元/米2，问怎样的尺寸，使水池的造价最