高中数学第三章指数函数和对数函数6指数函数幂函数对数函数增长的比较课件北师大版必修1.ppt

6指数函数 幂函数 对数函数增长的比较 第三章指数函数和对数函数 学习目标1 了解三种函数的增长特征 2 初步认识 直线上升 指数爆炸 和 对数增长 3 尝试函数模型的简单应用 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一同类函数增长特点 同样是增函数 当x从2变到3 y 2x到y 10 x的纵坐标增加了多少 答案 答案23 22 4 103 102 900 即同样是x从2变到3 y 2x与y 10 x的纵坐标分别增加了4和900 当a 1时 指数函数y ax是增函数 并且当a越大时 其函数值的增长就越快 当a 1时 对数函数y logax是增函数 并且当a越小时 其函数值的增长就越快 当x 0 n 1时 幂函数y xn是增函数 并且当x 1时 n越大其函数值的增长就越快 梳理 思考 知识点二指数函数 幂函数 对数函数的增长差异 当x从1变到10 函数y 2x y x2和y lgx的纵坐标增长了多少 答案 答案210 21 1024 2 1022 102 12 99 lg10 lg1 1 即同样是x从1变到10 y 2x y x2和y lgx的纵坐标分别增加了1022 99和1 梳理 一般地 在区间 0 上 尽管指数函数y ax a 1 幂函数y xn n 0 与对数函数y logax a 1 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个档次上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会远远超过幂函数y xn n 0 的增长速度 而对数函数y logax a 1 的增长速度越来越慢 因此总会存在一个x0 当x x0时 就有 a 1 n 0 logax xn ax 题型探究 例1函数f x 2x和g x x3的图像如图所示 设两函数的图像交于点A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 1 请指出图中曲线C1 C2分别对应的函数 解答 类型一根据图像判断函数的增长速度 解C1对应的函数为g x x3 C2对应的函数为f x 2x 2 结合函数图像 判断f 6 g 6 f 2013 g 2013 的大小 解答 解 f 1 g 1 f 2 g 10 1x2 从图像上可以看出 当x1x2时 f x g x f 2013 g 2013 又g 2013 g 6 f 2013 g 2013 g 6 f 6 判断函数的增长速度 一个是从x增加相同量时 函数值的增长量的变化 另一方面 也可从函数图像的变化 图像越陡 增长越快 反思与感悟 跟踪训练1函数f x lgx g x 0 3x 1的图像如图所示 1 试根据函数的增长差异指出曲线C1 C2分别对应的函数 解答 解C1对应的函数为g x 0 3x 1 C2对应的函数为f x lgx 2 以两图像交点为分界点 对f x g x 的大小进行比较 解答 解当xf x 当x1g x 当x x2时 g x f x 当x x1或x x2时 f x g x 例2假设你有一笔资金用于投资 现有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案 解答 类型二函数增长模型的应用 解设第x天所得回报是y元 则方案一可以用函数y 40 x N 进行描述 方案二可以用函数y 10 x x N 进行描述 方案三可以用函数y 0 4 2x 1 x N 进行描述 要对三个方案作出选择 就要对它们的增长情况进行分析 画出三个函数的图像 如图所示 由图可知方案一的函数是常数函数 方案二 方案三的函数都是增函数 但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同 可以看到 尽管方案一 方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍 但它们的增长量固定不变 而方案三是 指数增长 但 增长量 是成倍增加的 从第7天开始 方案三比其他两个方案增长得快得多 这种增长速度是方案一 方案二所无法企及的 从每天所得回报看 在第1 3天 方案一最多 在第4天 方案一和方案二一样多 方案三最少 在第5 8天 方案二最多 第9天开始 方案三比其他两个方案所得回报多得多 到第30天 所得回报已超过2亿元 下面再看累计的回报数 列表如下 因此 投资1 6天 应选择方案一 投资7天 应选择方案一或方案二 投资8 10天 应选择方案二 投资11天 含11天 以上 应选择方案三 直线上升反映了一次函数 一次项系数大于0 的增长趋势 其增长速度不变 恒为常数 指数爆炸反映了指数函数 底数大于1 的增长趋势 其增长速度急剧 越来越快 对数增长反映了对数函数 底数大于1 的增长趋势 其增长速度平缓 越来越慢 解题时 注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律 反思与感悟 跟踪训练2某公司为了实现1000万元的利润目标 准备制定一个激励销售人员的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且资金y 单位 万元 随销售利润x 单位 万元 的增加而增加 但资金总数不超过5万元 同时资金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型能符合公司的要求 解答 解作出函数y 5 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x的图像 如图 观察图像发现 在区间 10 1000 上 模型y 0 25x y 1 002x的图像都有一部分在直线y 5的上方 只有模型y log7x 1的图像始终在y 5和y 0 25x的下方 这说明只有按模型y log7x 1进行奖励时才符合公司的要求 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 1 当x越来越大时 下列函数中 增长速度最快的应是A y 3xB y log3xC y x3D y 3x 解析 解析几种函数模型中 指数函数增长最快 故选D 2 3 4 5 1 答案 2 当a 1时 有下列结论 指数函数y ax 当a越大时 其函数值的增长越快 指数函数y ax 当a越小时 其函数值的增长越快 对数函数y logax 当a越大时 其函数值的增长越快 对数函数y logax 当a越小时 其函数值的增长越快 其中正确的结论是A B C D 3 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10 4 要增长到原来的x倍 需经过y年 则函数y f x 的图像大致是 答案 2 3 4 5 1 解析 解析设该林区的森林原有蓄积量为a 由题意得 ax a 1 0 104 y 故y log1 104x x 1 y f x 的图像大致为D中图像 2 3 4 5 1 4 当2 x 4时 2x x2 log2x的大小关系是A 2x x2 log2xB x2 2x log2xC 2x log2x x2D x2 log2x 2x 答案 解析 解析方法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y log2x y x2 y 2x在区间 2 4 上从上往下依次是y x2 y 2x y log2x的图像 所以x2 2x log2x 方法二比较三个函数值的大小 作为选择题 可以采用特殊值代入法 可取x 3 经检验易知选B 5 某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势 现有三种函数模型 f x p qx q 0 q 1 f x logpx q p 0 p 1 f x x2 px q 能较准确反映商场月销售额f x 与月份x关系的函数模型为 填写相应函数的序号 若所选函数满足f 1 10 f 3 2 则f x 答案 2