近年数学高考新颖试题赏析及启示.ppt

成都市教科院 近年高考数学新颖试题赏析及启示 第一部分 新颖试题赏析第二部分 复习教学启示第三部分 几点思考建议 近年高考数学新颖试题赏析及启示 第一部分 新颖试题赏析 第一部分 新颖试题赏析 近年来的高考数学试卷中涌现出了一大批新颖试题 它们内涵丰富 立意新颖 背景鲜活 设问独特 闪耀着命题者智慧的光芒 给人以赏心悦目 回味无穷的感受 它对考查学生的阅读理解能力 知识迁移能力 类比猜想能力 数学探究能力 数学创新意识等有良好的作用 仔细研究这些试题 可以使我们明晰高考数学命题的动向和趋势 提高高三数学复习迎考的针对性和有效性 一 鲜明的立意二 新颖的情境三 深刻的背景四 开放的设计五 知识的交汇 第一部分 新颖试题赏析 一 鲜明的立意 立意是试题的考查目的 高考命题一般以立意为中心 以能力立意命题 就是首先确定试题在能力方面的考查目的 然后根据能力考查的要求 选择适当的考查内容 设计恰当的设问方式 高考数学把具有创新特色的新颖试题根据以能力立意命题的指导思想 把具有发展能力价值 富有发展潜力 再生性强的能力 方法和知识作为切入点 从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查 高考数学试题重视 双基 的考查 这有利于高等学校选拔基础扎实的考生 有利于引领中学数学的素质教育 对 双基 的考查侧重于基础知识 基本思想方法的理解和应用 而不是简单的重现 特别注重知识应用的综合性 交汇性 灵活性和创新性 这类试题的知识源于教材 思维能力高于教材 1 考查基础知识的灵活应用 一 鲜明的立意 当联想到 算术平均数与几何平均数 时 不难知道 和为定值的几个正数 当它们相等时其乘积最大 由此我们不难感悟和猜想 对周长一定的三角形 边长越接近时面积越大 从而以2 5 3 4 6作为三角形的三边得到的三角形面积最大 计算这个等腰三角形的面积可知选 B 这是一道加了包装的均值不等式试题 B 该题对思维能力进行了全面考查 既考查了观察 联想 猜想 估算等直觉思维能力 又考查了构成三角形的充要条件 面积公式的选择与应用等逻辑思维能力 考生通过对5根细棒的各种摆放和拼接的操作 实现了对实践能力考查的目标 本题提高了对分析问题和解决问题的能力要求 大大增加了思考量 由于面积最大的是等腰三角形 从而计算量得到了较好的控制 1 考查基础知识的灵活应用 简单讲 高考是三考 考基础知识 考思想方法 考能力素质 数学思想方法在探寻解题思路 优化解题方法 加深问题理解 洞察问题本质等方面有广泛的应用 因此 高考对数学思想方法的考查力度是很大的 在教学中应引起足够的重视 数学思想方法应在概念的形成 命题的发现 问题的探究 解题的分析等教学活动中着意渗透 自然揭示 灵活运用和总结提炼 2 考查基本的数学思想方法 本题构思精巧 内容丰富 有较为深刻的内涵 它以直线和圆为载体 以圆内接四边形面积的最大值为切入点 涉及四边形的面积 圆的几何性质 三角变换与三角最值等知识 因此也具有在知识交汇处命题这一特点 本题的解法较多 不同程度的同学可以根据自己的实际情况 灵活选择问题的解决方法 而思维量的多少 方法的繁简 计算量的大小等方面的因素又引发解题所需时间的差异 结果的正确与否 例如 先设出AC BD的斜率与方程 求出弦长后表示出四边形ABCD的面积 再求该面积函数的最值 这样的思路就显得比较繁琐 因此 它具有相当好的区分度 真正起到了小题把关题的作用 是一道可圈可点的好题 解二 设圆心O到AC BD的距离分别为d1 d2 则d12 d22 OM2 3 3 考查以数学思维能力为重点的五大能力 考试大纲 理科 的数学科指出 数学科考试着重考查五大能力 思维能力 运算能力 空间想象能力 实践能力和创新意识 在五大能力中以思维能力为考查重点 高考数学创新型试题没有固定的模式 难有现成的方法和套路 思维水平要求高 思维容量大 运算量较小 能有效考查考生的思维水平和创造意识 分析和解答这样的试题需要有较高的能力与素质 依靠 死记硬背 题海战术 和 强化训练 往往难以奏效 本题粗略一看 已知条件简洁明了 但题目的背景比较新颖 给人一种无从下手的感觉 这就需要我们实际操作和巧妙设计 要求考生要具有灵活的思维和应变能力 能根据题目的条件和结论进行观察 分析 探索 决策 说到底也就是一个平几或三角题 本题是把关题 看似平淡无奇 但却有效考查了考生的数学视野 开阔的思维 解题和智慧 在基础中考能力 在综合中考能力 在应用中考能力 在新型题中考能力占全了 是一道精彩的新颖试题 所以我们平时就要扎扎扎实实以熟练主干知识为龙头 注重对通性通法的训练和数学思想 方法 的强化 进一步提高解决问题的能力 4 考查应用意识和探究意识 坚持数学应用 考查应用意识 是近年来高考命题者坚持的一个命题方向 试卷突出新增加的如概率 导数等知识的应用性 反映出中学课程新增加的数学内容在解决实际问题中的重要作用 研究型 探索型 开放型试题是创新型试题的基本题型 有利于测试考生的能力与素质 有利于考查考生的探究精神 本题考查函数图像 导数图 导数的实际意义等知识 最初零时刻和最后终点时刻没有变化 导数取零 排除C 总面积一直保持增加 没有负的改变量 排除B 考察A D的差异在于两肩位置的改变是否平滑 考虑到导数的意义 判断此时面积改变为突变 产生中断 选择A 本题考查了阅读和理解能力 同时考查了学生对新知识 新事物接受能力和加以简单运用的能力 既考查了应用意识 又考查了探究精神 要求解题者通过观察 阅读 归纳 探索进行迁移 即读懂和理解新情境 获取有用的新信息 然后运用这些有用的信息进一步推理 综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力 多想少算甚至不算 4 考查应用意识和探究意识 因此 开放探索 考查探究精神 开拓展现创新意识的空间 在近年的高考试题中常有体现 用知识归类 套路总结 强化训练等传统教学方法难以解决高考中不断出现的新颖试题 应对创新型试题的最好办法是让学生进行研究性学习 要让学生在新课学习和复习课中经历数学探究的过程 这个过程应该包括学生自己主动地观察数学现象 分析数学材料 提出数学问题 探究数学规律 猜想数学命题 寻找解题思路等 二 新颖的情境 情境是实现立意的材料和介质 情境与问题相伴 问题是情境的焦点 情境因问题而存在 问题既是考查的内容也是考查的手段 情境的新颖性是高考数学创新型试题的一个共同的特点 情境新颖的试题 对广大考生来讲是全新的 公平的 靠 解题套路 猜题押宝 密卷 宝典 和 题海战术 是难以凑效的 二 新颖的情境 在高考中 考生对付情境新颖的试题 一般需要具有自主学习的能力 学习能力是指学生阅读并理解数学新知识的能力 这里的新知识可以是新的概念 新的定理 新的方法 新的公式 新的规则等 学习能力还包括会搜集 提炼 加工信息 对阅读的内容进行概括和理解 看清问题的本质 然后运用新的知识通过分析 演算 归纳 猜想 类比或论证等方法解决一些新的数学问题 1 定义新概念2 规定新运算3 设定新规则4 定义新性质 二 新颖的情境 定义一个新概念 要求学生面对陌生情境 迅速提取有用信息 要善于挖掘概念的内涵与本质 并合理迁移运用已学的知识加以解决 这类问题较好地考查学生的转化能力 知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能 1 定义新概念 二 新颖的情境 本题考查了学生抽象概括能力 同时也考查了学生对新事物接受能力和探究精神 要求解题者通过观察 阅读 归纳 探索进行迁移 即读懂和理解新情境 获取有用的新信息 然后运用这些有用的信息进一步推理 和运算 是一个难度较大的把关题 2 规定新运算 3 设定新规则 解 1 k 5 2 211 20 21 24 26 27 故kn取值0 1 4 6 7 故所求集合为 4 定义新性质 三 深刻的背景 高等数学的一些基本思想 基本概念 基本方法为设计创新型试题提供了深刻的背景 这是因为高等数学的基本思想和方法是考查学生进一步学习潜能的良好素材 另外需要注意到 命题者大多数是大学教师 他们在命题时会受到自身学术兴趣和研究背景的影响 高考创新型试题一般都有比较深刻的高等数学背景 这类题目形式新颖 在课本例习题 复习资料和模拟试题中难以找到 解答这类题目没有现成方法可借鉴 会使一些考生感到难以人手 从而使该类题目有很好的区分度 这类试题有利于检测考生进入高等学校进一步学习的潜能 因此 命题教师都十分青睐含有高等数学背景的试题 1 高等数学背景 本题以高等代数中向量空间的线性变换为背景 在映射与平面向量的交汇点设计试题 从而将映射的概念与平面向量的相关知识有机地融合在一起 这种交汇比较稀罕 可谓出奇制胜 让人印象深刻 本题考查面较广 思维容量较大 除涉及对新概念的理解 映射与平面向量知识的灵活运用外 还涉及赋值法 代入法 特殊值法 反证法等基本的数学方法 破解以高等数学为背景的试题 关键在阅读理解 抓住问题本质 将已掌握的知识迁移到新情景中去 将问题解决 需要指出的是 不宜提倡将高等数学的一些定理和背景知识作为教学的补充内容 因为这样做既会加重学生学习的负担 也与高考考查创新型试题的初衷相悖 三 深刻的背景 最近几年 一些创新型试题的基本走向是坚持新课程改革的方向 充分体现2003年4月教育部颁布的 普通高中数学课程标准 实验 9 以下简称 标准 的精神 出现了不少以新课程改革为背景的新题好题 2 新课程改革背景 2008年以来的非课改省份的一些试题也能看到课改的影子 如2008年全国卷I理科的第10题涉及选修4 5 不等式选讲 中的柯西不等式的背景 全国卷 理科的第16题涉及选修1 2 推理与证明 中的类比推理 湖南卷理科的第10题涉及 新定义 的自主学习与主动探究 江西卷理科的第16题也涉及主动探究 陕西卷理科的第12题涉及到选修3 2的信息安全与密码 等等 这些试题的背景新颖 视角独特 体现了新课程理念 当然 课改实验区的试卷如广东卷 海南 宁夏 卷 江苏卷等更加充分地体现了新课程改革的精神 值得研究 我省今年的高一也进入了课改 因此 高中数学教师应认真学习 研究 标准 积极参与数学课程改革 2 新课程改革背景 三 深刻的背景 应用题是对考生综合实力的考查 是考查能力与素质的良好题型 近几年应用题的编拟更加重视语言简洁 准确 背景清新 近人 模型具体 简明 方法熟悉 简便 所涉及的都是数学基本内容 思想和方法 摒弃繁琐的数学运算 突出了对数学思想 方法和实践能力的考查 3 联系实际生活背景 解 因为各酒杯杯口半径相等 即上底面积相等 内空高度相等 且饮去上部一半 故下部越细 剩余酒高度越高 故应有h2 hl h4应选A 旋转体在现行的教材中己被删掉 而命题者却大胆将四种旋转体集在一起 与日常生活中的酒杯形状联系起来 巧妙设问 考查学生的空间想象和直觉 逻辑 思维能力 主要考查几何体的体积 掌握几何体的体积与高度的关系 及体积的变化引起高度的变化 考查空间想象能力及逻辑推理能力 三 深刻的背景 4 数学文化背景 本题主要考查了勾股定理 解三角形 二倍角公式 读图 识图 阅读理解能力和基本运算能力 其背景融合数学历史 文化 耐人寻味 易错点是不能正确理解题意 在解答信息型的新型题时 要透彻理解问题中的新信息 题目本身不难 属于中低档题 本题既考了知识 又教给了我们新知识 从而提高同学们的数学素养 增加同学们的爱国心 题中所蕴涵的精神食粮颇多 是一道素质教育的好题 四 开放的设计 1 条件开放型问题条件开放型问题 即没有确定的已经条件 其特征是缺少确定的条件 即求解问题所需的条件过多或不足 学生无法直接根据给出的条件来解决问题 设计条件开放型问题的目的是加强对学生信息整合力的考查 信息整合国是个体立足于社会的最基本能力之一 现实世界纷繁复杂 信息浩如烟海且更新速度很快 而获取信息的渠道多种多样 如果没有很强的整合力 个体就会被繁杂的信息所掩埋 数学开放型问题有条件开放型问题和结论开放型问题 例12 中学数学中存在许多关系 比如 相等关系 平行关系 等等 如果集合A中元素之间的一个关系 满足以下三个条件 自反性 对于任意a A 都有a a 对称性 对于a b A 若a b 则有b a 传递性 对于a b c A 若a b b c 则有a c 则称 是集合A的一个等价关系 例如 数的相等 是等价关系 而 直线的平行 不是等价关系 自反性不成立 请你再列出三个等价关系 例12 中学数学中存在许多关系 比如 相等关系 平行关系 等等 如果集合A中元素之间的一个关系 满足以下三个条件 自反性 对于任意a A 都有a a 对称性 对于a b A 若a b 则有b a 传递性 对于a b c A 若a b b c 则有a c 则称 是集合A的一个等价关系 例如 数的相等 是等价关系 而 直线的平行 不是等价关系 自反性不成立 请你再列出三个等价关系 解析 根据关系 的条件 可知对图形A B C 显然有 1 A与A全等 2 若A与B全等 则B一定与A全等 3 若A与B全等 B与C全等 则A与C一定全等 同理相似也满足题意 另外 非零向量的共线 命题的充要条件 也是满足题意的 故答案是开放的 不唯一的 如 图形的全等 图形的相似 非零向量的共线 命题的充要条件 等等 例12 中学数学中存在许多关系 比如 相等关系 平行关系 等等 如果集合A中元素之间的一个关系 满足以下三个条件 自反性 对于任意a A 都有a a 对称性 对于a b A 若a b 则有b a 传递性 对于a b c A 若a b b c 则有a c 则称 是集合A的一个等价关系 例如 数的相等 是等价关系 而 直线的平行 不是等价关系 自反性不成立 请你再列出三个等价关系 本题考查学生分析问题和解决问题的能力 考查学生的创新意识 正确理解等价关系的三个条件是关键 易错点是忽略自反性 从而举例出错 这是一道信息给予题 命题中引进了中学数学中未曾见过的一些 新概念 这些新概念有着高等教育的背景 却与中学数学有着密切的联系 比如传递性 我们在不等式的性质中见过 对考生的阅读理解能力及中学数学的领悟程度能有效检测 四 开放的设计 2 结论开放型问题结论开放型问题 即没有明确的结果 其特征是结果的非唯一性 数学问题复杂多变 往往得到的不是唯一答案 高考命题者已有意识的设计结论开放型问题 引导学生摆脱数学是 答案唯一 的僵化思维模式 引导学生联系自己的知识经验考虑可能出现的多种情况 根据不同的情况 求得不同的答案 这两类问题又可分为归纳猜想型和探索发现型两类 五 知识的交汇 从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题 在知识网络的交汇点设计试题 以体现学科的内在联系和知识的综合性 这些要求多年来一直是高考命题的基本原则 而寻求一些新的交汇自然就咸为了命制高考创新试题的重要途径 为此 我们应注重数学知识之间的有机联系 学会运用知识之间的交叉 渗透与组合来解决问题 本题是在向量与三角的交汇处设计的问题 尽管这类交汇比较常见 但本题中的交汇却并未外显 而要通过分析才能发现 求解本题时 可先设出与点C相关的角 然后利用向量与三角知识进行转化 本题虽然素材平朴 形式淡和 但平中孕奇 淡中蓄秀 同时具有较好的区分功能 解题时 不同思维层次的同学对问题中所暗藏的数学关系将会有不同程度的理解 导致选择不同的解题思路 从而产生不同的解题效率 本题可以建立坐标系 利用向量的坐标表示来求解 也可以直接利用向量的数量积来求解 此外 还有一些较为复杂的解题思路 例14 2010安徽文数10 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线 乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线 则所得的两条直线相互垂直的概率是 对于几何概率问题 关键是正确作出几何图形 分类得出基本事件数 然后得所求事件保护的基本事件数 进而利用概率公式求解 解析 正方形四个顶点可以确定6条直线 甲乙各自任选一条共有36个基本事件 两条直线相互垂直的情况有5种 4组邻边和对角线 包括10个基本事件 所以概率等于C 小结 试题科学 试卷平稳是高考命题的首要目标 展露新意 闪现亮点是高考命题的第二追求 由此可以预测 新颖题 亮点题必将还会在高考中出现 一般说来 新颖题 亮点题除以上特色外 还具有以下一些特征 小结 第一 多属新信息迁移题 在教学中既要适当拓宽学生的数学知识视野 也要加强自主获取知识能力的训练与培养 第二 常规考点经过适当包装 要求学生不为表象所惑 善于抓住问题本质 第三 常规考点的组合联袂 在解答时只需抓住基本知识 加以合适组合 问题便可迎刃而解 第四 属于能力立意的 知识虽是新的 能力却不超纲 在教学中除了强调知识的获取 也要注意能力的培养 第二部分 教学启示 第二部分 教学启示 目前高三教学的个别现象 在应试教育固化下 高三数学复习将近花一年的时间 课堂教学的主要工作是例题的讲解与大量模拟题的训练 比较重视学生对数学知识的记忆与掌握 忽视学生对数学本质的理解感悟 重视学生对题型套路与解题方法的训练 忽视学生对数学思想的总结提炼 重视学生对具体问题的解决 忽视学生对创新能力的培养 从学生的学习方式来看 高三数学复习教学的基本方法是 教师讲 学生听 学生记 教师示范例题 问题 学生模仿练习 问题 这是一种 单项 信息传递的教学模式 学生处于比较被动的状态 不利于学生对数学知识和数学思想方法的主动建构 不利于学生创新意识的培养 一 精选数学问题 加强创新意识培养二 强化概念建构 突出数学本质教学三 研究新颖试题 重视学习能力训练四 搞好三个优化 提升学生数学素质 第二部分 教学启示 一 精选数学问题 加强创新意识培养 近年的高考数学新颖试题都具有立意新 背景新 形式新等特点 解答这类试题学生可以按照 从新情境问题中获取信息 分析处理信息 转化为数学问题 获得原问题的解 的步骤进行 一 精选数学问题 加强创新意识培养 高考数学复习应加强对学生创新意识的培养 培养学生的创新意识应从好的数学问题开始 因为问题是数学的心脏 数学的真正组成部分是问题和问题解决 数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力 这里我们所说的问题应该是数学中的好问题 我们在调研时发现 一些教师不能判断一道数学试题好在哪里 不好在哪里 让学生做了大量的劣质试题 既浪费了宝贵的时间 又降低了学习效率 因此 我们建议 在高三教学和复习中可以开展评价数学试题优劣标准的研究 这是一道活用圆锥曲线定义的好题 以立几为载体 把平几和立几巧妙结合 在理解题意 知道P的轨迹是圆柱的情况下 解答无须动笔 就是平面斜截圆柱 截口是椭圆 这是教材章首图的内容 由此可见 题在书外 根还在书内 复习还得抓课本 二 强化概念建构 突出数学本质教学 在逻辑学中 概念是思维形式的最基本组成单位 是构成判断和推理的要素 数学的概念或定义反映了数学对象的本质 这要求我们在数学教学中应重视基本概念的教学 应尽可能地创设使学生理解概念的情境 让学生充分理解概念 学会用概念解题 数学学习心理学研究表明 学生学习数学概念需要心理建构 一般要经过活动阶段 过程阶段 对象阶段和图式阶段等四个阶段 它是一个比较复杂的心理过程 这正是很多学生感到数学概念难学的重要原因 因此 数学基本概念 重要概念是数学教学的逻辑起点 应重视数学基本概念 重要概念的教学设计和教学方法的研究 不断培养学生对数学的理解能力 这对学生持续学习数学是有益的 三 研究新颖试题 重视学习能力训练 从近年高考新颖新颖试题的背景来看 试题展示给学生的是一个全新的问题 试题具有较大的自由度和思维空间 体现了自主学习和主动探究精神 呈现出研究性学习的特点 从试题的一些特点来看 大多试题属于 学习型 试题 考生需要先自主学习题目给出的一些新定义 新性质等 然后分别所给答案是否同时满足新定义 性质中的某些条件 满足需要证明 不满足则只需举出一个反例即可 在高考中 通过 学习型 试题的考查 能有效地测试学生创新能力和进一步学习高等数学潜质 学习能力是指学生阅读并理解数学新知识的能力 这里的新知识可以是新的概念 新的定理 新的方法 新的公式 新的图式 新的规则 新的问题等 学习能力包括会搜集提炼 加工信息 对阅读的内容进行概括和理解 看清问题的本质 然后运用新的知识通过分析掐算 归纳猜想 类比或论证等方法解决一些新的数学问题 随着高中数学课程改革的推进 考查学生独立获取新知识的 学习型 试题仍可能出现 高三数学复习应重视培养学生的学习能力 这有利于学生的高考应试 对学生持续学习也是非常有益的 三 研究新颖试题 重视学习能力训练 四 搞好三个优化 提升学生数学素质 基于人们的应试心理 高考对中学教学所产生的至高无上的 极具权威的导向作用 但试卷的导向决非使课堂教学关注 惰性知识 量的积累 而势必使我们把课堂教学的着力点从 题型教学 转向三个优化 第一 优化知识结构 即学习中克服 只见树木不见森林 的弊端 注重沟通知识之间的联系 完成知识重组 强化知识体系的功能 第二 优化学习过程 即不仅熟练掌握知识的运用过程 又洞悉知识的来龙去脉 产生过程 全面提升理解层次 第三 优化思维品质 即不断改善解数学题过分依赖题型记忆 复制模仿的状况 着意使学生面对崭新的习题情境 提升捕捉隐含信息 具体问题具体分析 最终解决问题的能力 第三部分 几点思考建议 一 高三复习中的一些现象和困惑 负责任教师的一种心态 2 课堂的容量偏大 可效果不佳 1 课堂中讲过 反复 的问题 学生掌握得不好 除非你告诉他 这是今年的高考题 3 学生模仿的机会要远大于自己独立思考解决问题的机会 短期效应好 有时也是教师的一种心理状态 4 通过大量的练习 反复操练 熟能生巧的教学 是否最为富有成效 学生被教懒了 高三数学复习的主阵地 提高课堂效率和达成度是关键 二 课堂是主阵地 课堂要注重互动 在学生的主动学习中 提升达成度 课堂教学的目标定位 特别是例题的选择 要考虑学生的实际 这为学生主动参与提供了可能 课堂教学要为学生的学提供时间保障 在问题提出后或讲解例题前 要给学生留下思考的时间 并督促学生先尝试着去做一做 这样学生的想法就能得到展示 课堂教学要注重引导学生反思 这样学生就能看透问题的本质 举一反三 课堂教学要重视及时反馈 这样学生对所复习的知识就能进一步加深认识 也为下一步的补偿矫正做好准备 课堂教学要有重点 围绕你认为的高考常考的一个或两个知识和方法 组织例题 反复渗透 这样课堂才能有效 解题 反思做题要注重反思 在反思中构建知识结构 夯实基础 三 反思是提高解题效益的重要手段 怎样重视基础都不过分 但对基础知识和基本方法的训练不应是简单重复和记忆 重要的是深化认识 从本质上认识知识之间的联系 通过分类 整理 综合 逐步形成一个条理化 有序化 网络化的知识结构体系 以致在解题时 准确依据信息 寻求解题途径 优化解题过程 最终在考场上对基础知识和技能的运用胸有成竹 做题的目的是为了理解和掌握这些题背后的的知识和方法 并为这些知识和方法提供一个例证 做题必须从 模仿 转变为 思考