高中数学第二章平面解析几何初步2.3.3直线与圆的位置关系学案新人教B版必修2.doc

2.3.3直线与圆的位置关系学习目标1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识链接1.直线的点斜式方程为yy0k(xx0)，直线恒过定点(x0，y0).2.圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆的一般方程为x2y2DxEyF0.(其中D2E24F0)3.点(x0，y0)到直线AxByC0的距离d.预习导引1.直线与圆的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0时，即m0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离d.当d0或m2时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.规律方法直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪演练1已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()A.l与C相交 B.l与C相切C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能答案A解析将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024391231，所以点A在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4).即kxy34k0，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21.解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.规律方法1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系.若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式yy0k(xx0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况；若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1k21(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若不已知切点则用dr(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式.跟踪演练2求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程.解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.要点三圆的弦长问题例3求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长.解方法一由得交点A(1,3)，B(2,0)，弦AB的长为|AB|.方法二由消去y得x23x20.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则由根与系数的关系得x1x23，x1x22.|AB|，即弦AB的长为.方法三圆C：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标(0,1)，半径r，点(0,1)到直线l的距离为d，所以半弦长为，所以弦长|AB|.规律方法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2.即|AB|2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|，其中k为直线l的斜率.跟踪演练3直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A.1 B.2 C.4 D.4答案C解析圆的方程可化为C：(x1)2(y2)25，其圆心为C(1,2)，半径R.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CPAB，圆心C到直线AB的距离d|CP|1.在RtACP中，|AP|2，故直线被圆截得的弦长|AB|4.1.直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心答案D解析圆心(1，1)到直线3x4y120的距离d0)相切，则m的值为()A.0或2 B.2 C. D.无解答案B解析由直线与圆心的距离d，解得m2.3.设A、B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|等于()A.1 B. C. D.2答案D解析直线yx过圆x2y21的圆心C(0,0)，则|AB|2.4.由点P(1,3)引圆x2y29的切线，则切线长为_.答案1解析点P到原点O的距离为|PO|，r3，切线长为1.5.过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_.答案2xy0解析设所求直线方程为ykx，即kxy0.由于直线kxy0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于0，即圆心位于直线kxy0上.于是有k20，即k2，因此所求直线方程是2xy0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立