2012年浙江高考理科数学试卷及详细解答.doc

2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷） 数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Ax|1x4，Bx|x 22x30，则A(RB)A(1，4) B(3，4) C(1，3) D(1，2)【解析】A(1，4)，B-1,3，则A(RB)(3，4)【答案】B【考点定位】本题主要考察集合的概念与运算，是常见和常考的问题。2已知i是虚数单位，则A12i B2i C2i D12i【解析】12i【答案】D【考点定位】本题主要考察复数的代数运算及复数的定义，是复数的内容的主要考点。3设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：，解之得：所以为充分不必要条件【答案】A【考点定位】本题主要考察逻辑语言中的充分必要条件，同时联系到两条直线的位置关系。4把函数ycos2x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数ycos2x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1cosx1，向左平移1个单位长度得：y2cos(x+1)1，再向下平移1个单位长度得：y3cos(x+1)令x0，得：y30；x，得：y30；观察即得答案【答案】A【考点定位】本题考察三角函数的图像变化，三角变换是三角函数图象内容的一个重要考点5设a，b是两个非零向量A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得abD若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，|ab|a|b|，则a，b共线，即存在实数，使得ab如选项A：|ab|a|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若ab，由长方形得|ab|a|b|不成立；选项D：若存在实数，使得ab，当0时，a与b同向，此时显然|ab|a|b|不成立【答案】C【考点定位】本题主要考察向量的概念和线性运算，理解向量的概念，掌握平行四边形法则，三角形法则是根本。6若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A60种 B63种 C65种 D66种【解析】1，2，3，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：种；2个偶数，2个奇数：种；4个都是奇数：种不同的取法共有66种【答案】D【考点定位】主要考察分类组合，考察分析问题和解决问题的能力，学会分类处理是关键。7设S n是公差为d(d0)的无穷等差数列a n的前n项和，则下列命题错误的是A若d0，则数列S n有最大项B若数列S n有最大项，则d0C若数列S n是递增数列，则对任意的nN*，均有S n0D若对任意的nN*，均有S n0，则数列S n是递增数列【解析】，可以看作是关于n的一元二次函数，对A选项，当dS n ,故D正确。【答案】C【考点定位】考察数列概念，前N项和的单调性，明确数列的有关概念和性质是关键8如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若|MF2|F1F2|，则C的离心率是A BC D【解析】如图：|OB|b，|O F1|ckPQ，kMN直线PQ为：y(xc)，两条渐近线为：yx由，得：Q(，)；由，得：P(，)直线MN为：y(x)，令y0得：xM又|MF2|F1F2|2c，3cxM，解之得：，即e【答案】B【考点定位】考察双曲线的标准方程和简单的几何性质，求离心率一般先列出关于a、b、c的等式，再求解。9设a0，b0 A若，则abB若，则abC若，则abD若，则ab【解析】若，必有构造函数：，则恒成立，故有函数在x0上单调递增，即ab成立其余选项用同样方法排除【答案】A【考点定位】考察函数的性质和比较大小，利用单调性比较大小是常用的方法，而单调性除了用初等函数的性质来判断外，还有求导法。10已知矩形ABCD，AB1，BC将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B是正确的【答案】B【考点定位】考察空间图形的形状大小位置的变化规律，动手可以直观的感受到其中的奥妙。2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷） 数 学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上2在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_1_cm3【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形故体积等于【答案】1【考点定位】考察空间几何的三视图，及多面体体积的求法。12若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_【解析】T，i关系如下图：T1i23456【答案】【考点定位】考察算法的功能，机构，基本思想，要明确其算理掌握运算功能13设公比为q(q0)的等比数列a n的前n项和为S n若 ，则q_【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子即，两式作差得：，解之得：.【答案】【考点定位】考察数列的通项公式、求和公式。14若将函数表示为 其中，为实数，则_【解析】法一：由等式两边对应项系数相等即：法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即【答案】10【考点定位】考察二项式定理和函数的综合，通过二项式展开的系数与函数式的系数相等来解。15在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_【解析】此题最适合的方法是特例法假设ABC是以ABAC的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABACcosBAC【答案】-16【考点定位】考察三角形平面和向量的数量积，常见的题型用特例法。16定义：曲线C上的点到直线L的距离的最小值称为曲线C到直线L的距离已知曲线C1：yx 2a到直线L：yx的距离等于C2：x 2(y4) 2 2到直线L：yx的距离，则实数a_【解析】C2：x 2(y4) 2 2，圆心(0，4)，圆心到直线l：yx的距离为：，故曲线C2到直线l：yx的距离为另一方面：曲线C1：yx 2a，令，得：，曲线C1：yx 2a到直线l：yx的距离的点为(，)，。当a=-时，曲线C1与直线L相交，距离为零，故【答案】【考点定位】通过新定义来考察直线与圆的位置关系，要先理解定义，结合直线与圆的位置知识来求解。17设aR，若x0时均有(a1)x1( x 2ax1)0，则a_【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A)， 无解；(B)， 无解因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在x0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负(如下答图)我们知道：函数y1(a1)x1，y2x 2ax1都过定点P(0，1)考查函数y1(a1)x1：令y0，得M(，0)，还可分析得：a1；考查函数y2x 2ax1：显然过点M(，0)，代入得：，解之得：，舍去，得答案：【答案】【考点定位】考察参数不等式的解法，既可数形结合法，也可分类讨论法。三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA，sinBcosC()求tanC的值；()若a，求ABC的面积【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。()cosA0，sinA，又cosCsinBsin(AC)sinAcosCsinCcosAcosCsinC整理得：tanC()由tanC=及sinBcosC可知cosC0，故可求出sinC,cosC=.所以，sinB=又由正弦定理知：，故又=ABC的面积为：S【答案】() ；() 【考点定位】考察三角函数求值，解三角形，是常见题型。19(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和()求X的分布列；()求X的数学期望E(X)【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。() X的可能取值有：3，4，5，6 ； ； ； 故，所求X的分布列为X3456P () 所求X的数学期望E(X)为： E(X)=【答案】()见解析；() 【考点定位】考察离散型随机变量的分布列和期望，首先要先明确随机变量的可能取值，再正确的求概率，然后求期望即可。20(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为的菱形，且BAD120，且PA平面ABCD，PA，M，N分别为PB，PD的中点()证明：MN平面ABCD；() 过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。()如图连接BD M，N分别为PB，PD的中点，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，MN平面ABCD；()在菱形ABCD中，得，AC=AB=BC=CD=DA 由因为PA面ABCD，所以,所以PB=PC=PD.所以。而M、N分别是PB、PD的中点，所以MQ=NQ，且AM=取线段MN的中点E，连结AE、EQ，则，所以为二面角的平面角。由AB=，故在AMN中，AM=AN=3，MN=BD=3，得在RtPAC中，得AQ=,QC=2，PQ=4在PBC中，得在等腰MQN中，MQ=NQ=，MN=3，得在AEQ中，得所求二面角AMNQ的平面角的余弦值为【答案】()见解析；() 【考点定位】考察平行关系的证明与二面角的求解，掌握定理，正确理解空间位置是关键。21(本小题满分15分)如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程【解析】()由题：； (1)左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为： (2)由(1) (2)可解得：所求椭圆C的方程为：()设A，B，线段AB的中点为R当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，舍去。故可设直线AB的方程为 由消去y整理得， （1） 则，所以线段AB的中点R坐标为，因为R在OP直线上，所以有，得b=0(舍去)或此时方程（1）为，则， 所以，设P到直线AB的距离为d，则设ABP的面积为S，则，其中。令，所以当且仅当，f(x)有最大值，即APB的面积最大。综上，直线l的方程为【答案】 () ；() 【考点定位】该题综合考察椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系。22(本小题满分14分)已知a0，bR，函数()证明：当0x1时，()函数的最大值为|2ab|a；() |2ab|a0；() 若11对x0，1恒成立，求ab的取值范围【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。()()当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a；() 要证|2ab|a0，即证|2ab|a亦即证在0x1上的最大值