高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学案新人教B版必修2.doc

2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学习目标1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.预习导引1.直线的方程的概念一般地,如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.2.直线的斜率(1)通常把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),为直线l上任意两点,且x1x2,则直线l的斜率为k.3.直线的倾斜角(1)x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)由斜率k的定义可知当k0时,直线平行于x轴或与x轴重合；当k0时,直线的倾斜角为锐角,k值增大,直线的倾斜角也随着增大；当k0时,直线的倾斜角为钝角,k值增大,直线的倾斜角也随着增大；垂直于x轴的直线的倾斜角等于90.要点一直线的倾斜角例1设直线l过坐标原点,它的倾斜角为,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.45B.135C.135D.当0135时,倾斜角为45；当135180时,倾斜角为135答案D解析根据题意,画出图形,如图所示：因为0180,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0135时,l1的倾斜角为45；当135180时,l1的倾斜角为45180135.故选D.规律方法1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪演练1一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090),则其倾斜角为()A. B.180C.180或90 D.90或90答案D解析如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90.故选D.要点二直线的斜率例2已知直线l过P(2,1),且与以A(4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.解根据题中的条件可画出图形,如图所示,又可得直线PA的斜率kPA,直线PB的斜率kPB,结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90,故斜率的取值范围为,当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90增大到PA的倾斜角,故斜率的变化范围是.综上可知,直线l的斜率的取值范围是.规律方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决.(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解.(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.跟踪演练2已知两点A(3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围.解如图所示,由题意可知kPA1,kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k1,或k1.(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45,PA的倾斜角是135,所以的取值范围是45135.要点三斜率公式的应用例3已知实数x,y满足y2x8,且2x3,求的最大值和最小值.解如图所示,由于点(x,y)满足关系式2xy8,且2x3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2).由于的几何意义是直线OP的斜率,且kOA2,kOB,所以可求得的最大值为2,最小值为.规律方法若所求最值或范围的式子可化为的形式,则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解.跟踪演练3已知实数x,y满足yx2x2(1x1),试求的最大值和最小值.解由的几何意义可知,它表示经过定点P(2,3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPAkkPB,由已知可得A(1,2),B(1,4).则kPA,kPB7.k7,的最大值为7,最小值为.1.下图中标注的表示直线l的倾斜角的是()A. B. C. D.答案A解析结合直线l的倾斜角的概念可知可以,选A.2.已知直线l的倾斜角为30,则直线l的斜率为()A. B. C.1 D.答案A解析由题意可知,ktan 30.3.若过两点A(2,3),B(y,4)的直线的倾斜角为45,则y的值为()A. B. C.3 D.3答案D解析tan 45kAB,即1,所以y3.4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.090 B.90180C.90180 D.0180答案C解析直线倾斜角的取值范围是0180,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是90180.5.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3之间的大小关系为_.答案k1k3k2解析设l1,l2,l3的倾斜角分别为1,2,3,则由题图可知032901tan 30,tan 10,故k1k3k2.1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度,两者紧密相连,如下表：直线情况的大小009090900不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大3.运用两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)求直线斜率k应注意的问题：(1)斜率公式与