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求轨迹方程的常用方法 复习课 1 1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系 直接坐标化 列出等式化简即得动点轨迹方程 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 3 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如椭 圆 双曲线 抛物线 圆等 可用定义直接探求 知识系统 2 4 相关点法 动点P x y 依赖于另一动点Q x0 y0 的变化而变化 并且Q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 5 参数法 当动点P x y 坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将x y均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 3 A 双曲线 B 椭圆 C 圆 D 抛物线 D D 知识技能形成诊断 4 4 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线关于x轴对称 顶点在原点O 且过点P 2 4 则该抛物线的方程是 5 2010年上海 动点P到点F 2 0 的距离与它到直线x 2 0的距离相等 则P的轨迹方程为 y2 8x y2 8x 3 已知 ABC的顶点B 0 0 C 5 0 AB边上的中线长 CD 3 则顶点A的轨迹方程为 x 10 2 y2 36 y 0 5 考点1利用直接法求轨迹方程 例1 如图12 4 1所示 过点P 2 4 作互相垂直的直线l1 l2 若l1交x轴于A l2交y轴于B 求线段AB中点M的轨迹方程 解析 设点M的坐标为 x y M是线段AB的中点 图12 4 1 方法技能形成与突破 6 求轨迹的步骤是 建系 设点 列式 化简 建系的原则是特殊化 把图形放在最特殊的位置上 这类问题一般需要通过对图形的观察 分析 转化 找出一个关于动点的等量关系 D 7 考点2利用定义法求轨迹方程 8 图D20 9 10 求曲线的方程 然后利用圆锥曲线的定义或圆锥曲线中有关几何元素的范围求最值 范围 是高考的一种基本模式 广东试题 2011年 2009年即是如此 这样出题 一改直线与圆锥曲线联立这一传统 多少有些出乎意料 在备考时应予以关注 11 互动探究 2 已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 求动圆圆心M的轨迹方程 图D21 解 如图D21 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B 根据两圆外切的充要条件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 12 2020 3 20 13 14 考点3 利用相关点法求轨迹方程 例3 已知点A在圆x2 y2 16上移动 点P为连接M 8 0 和点A的线段的中点 求P的轨迹方程 15 点P为MA的中点 点M为固定点 点A为圆上的动点 因此利用点P的坐标代换点A的坐标 从而代入圆的方程求解 这种求轨迹方程的方法叫相关点法 也有资料称转移法 16 互动探究 3 设定点M 3 4 动点N在圆x2 y2 4上运动 以OM ON为两边作平行四边形MONP 求点P的轨迹 17 18 考点4利用参数法求轨迹方程 图12 4 2 19 20 21 1 如果问题中涉及平面向量知识 那么应从已知向量的特点出发 考虑选择向量的几何形式进行转化 还是选择向量的代数形式进行转化 2 在与圆锥曲线相关的综合题中 常借助于 平面几何性质 数形结合 方程与函数性质 化解析几何问题为代数问题 分类讨论思想 化整为零分化处理 求值构造等式 求变量范围构造不等关系 等等 方法技能总结 22 3 如果在一条直线上出现 三个或三个以上的点 那么可 选择应用 斜率或向量 为桥梁转化 1 能用定义法求轨迹方程可以减少大量的运