高中数学第二章解三角形1.2余弦定理(二)课件北师大版必修5.ppt

第二章解三角形 1 2余弦定理 二 1 熟练掌握余弦定理及其变形形式 2 会用余弦定理解三角形 3 能利用正弦 余弦定理解决有关三角形的恒等式化简 证明及形状判断等问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形 能 在余弦定理b2 a2 c2 2accosB中 已知三个量AC b AB c cosB 代入后得到关于a的一元二次方程 解此方程即可 答案 梳理 已知两边及其一边的对角 既可先用正弦定理 也可先用余弦定理 满足条件的三角形个数为0 1 2 具体判断方法如下 设在 ABC中 已知a b及A的值 由正弦定理 可求得sinB 1 当A为钝角时 则B必为锐角 三角形的解唯一 2 当A为直角且a b时 三角形的解唯一 3 当A为锐角时 如图 以点C为圆心 以a为半径作圆 三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系 当ab 则有A B 所以B为锐角 此时B的值唯一 知识点二判定三角形的形状 思考1 不需要 如果所知条件方便求角 只需判断最大的角是钝角 直角 锐角 如果方便求边 假设最大边为c 可用a2 b2 c2来判断cosC的正负 而判断边或角是否相等则一目了然 不需多说 三角形的形状类别很多 按边可分为等腰三角形 等边三角形 其他 按角可分为钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定 答案 思考2 A B 0 2A 2B 0 2 2A 2B或2A 2B 即A B或A B ABC中 sin2A sin2B 则A B一定相等吗 答案 梳理 判断三角形形状 首先看最大角是钝角 直角还是锐角 其次看是否有相等的边 或角 在转化条件时要注意等价 知识点三证明三角形中的恒等式 思考 前面我们用正弦定理化简过acosB bcosA 当时是把边化成了角 现在我们学了余弦定理 你能不能用余弦定理把角化成边 答案 梳理 证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异 题型探究 类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形 例1已知在 ABC中 a 8 b 7 B 60 求c 由余弦定理b2 a2 c2 2accosB 得72 82 c2 2 8 ccos60 整理得c2 8c 15 0 解得c 3或c 5 解答 引申探究例1条件不变 用正弦定理求c 解答 sinC sin A B sin A B sinAcosB cosAsinB 反思与感悟 相对于用正弦定理解此类题 用余弦定理不必考虑三角形解的个数 解出几个是几个 跟踪训练1在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若A a b 1 则c等于 答案 解析 类型二利用正弦 余弦定理证明三角形中的恒等式 例2在 ABC中 有 1 a bcosC ccosB 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 这三个关系式也称为射影定理 请给出证明 证明 方法一 1 由正弦定理 得b 2RsinB c 2RsinC bcosC ccosB 2RsinBcosC 2RsinCcosB 2R sinBcosC cosBsinC 2Rsin B C 2RsinA a 即a bcosC ccosB 同理可证 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 方法二 1 由余弦定理 得 同理可证 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 反思与感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式 可以考虑两种途径 一是把角的关系通过正弦 余弦定理转化为边的关系 正弦借助正弦定理转化 余弦借助余弦定理转化 二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系 跟踪训练2在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 求证 证明 类型三利用正弦 余弦定理判断三角形形状 例3在 ABC中 已知 a b c b c a 3bc 且sinA 2sinBcosC 试判断 ABC的形状 解答 由 a b c b c a 3bc 得b2 2bc c2 a2 3bc 即b2 c2 a2 bc 又sinA 2sinBcosC 由正弦 余弦定理 反思与感悟 1 判断三角形形状 往往利用正弦定理 余弦定理将边 角关系相互转化 经过化简变形 充分暴露边 角关系 继而作出判断 2 在余弦定理中 注意整体思想的运用 如 b2 c2 a2 2bccosA b2 c2 b c 2 2bc等等 跟踪训练3在 ABC中 若B 60 2b a c 试判断 ABC的形状 解答 方法一根据余弦定理 得b2 a2 c2 2accosB B 60 2b a c 整理得 a c 2 0 a c 又 2b a c 2b 2c 即b c ABC是等边三角形 方法二根据正弦定理 2b a c可转化为2sinB sinA sinC 又 B 60 A C 120 C 120 A 2sin60 sinA sin 120 A A 0 120 整理得sin A 30 1 A 30 30 150 A 30 90 A 60 C 60 ABC是等边三角形 当堂训练 b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac cosB 0 B 180 B 120 1 在 ABC中 若b2 a2 c2 ac 则B等于A 60 B 45 或135 C 120 D 30 答案 解析 1 2 3 2 在 ABC中 若2cosBsinA sinC 则 ABC的形状一定是A 等腰直角三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等边三角形 1 2 3 2cosBsinA sinC 答案 解析 a b 故 ABC为等腰三角形 3 在 ABC中 若B 30 AB AC 2 则满足条件的三角形有几个 1 2 3 解答 设BC a AC b AB c 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB 1 2 3 即a2 6a 8 0 解得a 2或a 4 满足条件的三角形有两个 规律与方法 1 已知两边及其中一边的对角解三角形 一般情况下 利用正弦定理求出另一边所对的角 再求其他的边或角 要注意进行讨论 如果采用余弦定理来解 只需解一个一元二次方程 即可求出边来 比较两种方法 采用余弦定理较简单 2 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 2 化角为边 并常用正弦