2012河南省高考数学试题及答案.doc

2012年全国卷新课标数学理科本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 10 2.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种 3.下面是关于复数的四个命题：的共轭复数为的虚部为其中的真命题为A. ，B. ，C. ，D. ，4.设是椭圆 的左右焦点，为直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A.B.C.D. 5.已知为等比数列，则A.B. C.D. 6.如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则A. 为的和B. 为的算术平均数C. 和分别是中最大的数和最小的数D. 和分别是中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A. 6B. 9C. 12D. 18 8.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，则的实轴长为A.B. C. D. 9.已知，函数在单调递减，则的取值范围是A. B. C. D. 10.已知函数，则的图像大致为11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A. B. C. D. 12.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为A. B. C. D. 二、填空题.本大题共4小题，每小题5分. 13.已知向量，夹角为，且，则 . 14.设满足约束条件则的取值范围为 . 元件1 元件2 元件3 15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16.数列满足，则的前60项和为 .三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知，分别为三个内角，的对边，.() 求；() 若，的面积为，求，. 18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.() 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；() 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；（）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，() 证明：() 求二面角的大小. 20.（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、两点() 若，面积为，求的值及圆的方程；()若、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，的距离的比值. 21.（本小题满分12分）已知函数.() 求的解析式及单调区间；() 若，求的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，分别为边，的中点，直线交的外接圆于，两点.若，证明：() ；() . 23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且，依逆时针次序排列，点的极坐标为.()点，的直角坐标；() 设为上任意一点，求的取值范围. 24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数.() 当时，求不等式的解集；() 的解集包含，求的取值范围.2012年全国卷新课标数学理科答案 （1）【解析】选D.法一：按的值为1，2，3，4计数，共个； 法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是，小的是，共种选法.（2）【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共种安排方案.（3）【解析】选C. 经计算， .（4）【解析】选C.画图易得,是底角为的等腰三角形可得，即, 所以.（5）【解析】选D.,或,成等比数列，.（6）【解析】选C.（7） 【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，.（8） 【解析】选C.易知点在上，得，.（9）【解析】选A.由得，.(10) 【解析】选B.易知对恒成立，当且仅当时，取等号.(11) 【解析】选A.易知点到平面的距离是点到平面的距离的2倍.显然是棱长为1的正四面体，其高为，故，(12) 【解析】选B. 与互为反函数，曲线与曲线关于直线对称，只需求曲线上的点到直线距离的最小值的2倍即可.设点，点到直线距离. 令，则.由得；由得，故当时，取最小值.所以，.所以.(13) 【 解析】.由已知得，解得.(14) 【解析】.画出可行域，易知当直线经过点时，取最小值；当直线经过点时，取最大值3.故的取值范围为.(15) 【解析】 .由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.(16) 【解析】1830.由得，,再由得, 由得, 由得, 所以, .(17) 解：()法一:由及正弦定理可得,， 法二:由正弦定理可得，由余弦定理可得 .再由可得， 即， ，即， ， ()， ， .解得.(18) 解：() （）；() （）若花店一天购进16枝玫瑰花，的分布列为6070800.10.20.7的数学期望=600.1+700.2+800.7=76，的方差=60-760.1+70-760.2+80-760.7=44.（）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，的分布列为556575850.10.20.160.54的数学期望=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4，因为76.476，所以应购进17枝玫瑰花.(19) () 证明：设， 直三棱柱， ， ，.又，平面.平面,.()由 ()知，又已知，.在中， . ，.法一：取的中点，则易证平面，连结，则，已知，平面，是二面角平面角.在中，.即二面角的大小为.法二：以点为坐标原点，为轴，为轴,为轴,建立空间直角坐标系.则.，设平面的法向量为，则,不妨令,得,故可取.同理,可求得平面的一个法向量.设与的夹角为,则 , .由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角的大小为. (20) 解: ()由对称性可知,为等腰直角三角形,斜边上的高为,斜边长.点到准线的距离.由得, ,.圆的方程为. ()由对称性,不妨设点在第一象限,由已知得线段是圆的在直径,代入抛物线得.直线的斜率为.直线的方程为.由 得,.由得, .故直线与抛物线的切点坐标为,直线的方程为.所以坐标原点到，的距离的比值为.(21) 解: () ,令得,再由,令得.所以的解析式为.,易知是上的增函数,且.所以 所以函数的增区间为,减区间为.() 若恒成立,即恒成立，,(1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意;(2)当时,恒成立, 则,;(3)当时, 为增函数,由得, 故当时, 取最小值.依题意有,即,令,则,所以当时, 取最大值.故当时, 取最大值.综上, 若，则 的最大值为.(22) 证明