6第六讲：整式及其运算.doc

中考数学总复习（六）第六讲： 整式及其运算引入：从代数式整式。本章包括整式的相关概念，如加减乘除、乘方、分解因式。学习方法：整体思想、数形结合思想。尤其注意灵活运用各种运算法则。考点1：代数式1、代数式的定义：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数、表示数的字母连接而成的式子。(用数学符号表示简单的数量关系)【例题】有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为 米。练习：用代数式表示a、b平方和的2倍，正确的是（ ） A2（a+b）2 B（2a2b）2 C、2a2+b2 D2（a2b2）2、代数式的写法应注意：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写作“”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“ ”号；（2）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写；（3）数字通常写在字母的前面；（4）带分数要写成假分数的形式。【例题】下列各式中：5b，（ac） b，n3,34，其中符合代数式书写要求的个数为（ ） A1 B2 C3 D43、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，就叫做代数式的值。（注意：先化简再求值）（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。【例题】若abx与ayb2是同类项，下列结论正确的是（ ） Ax2，y=1 Bx=0，y=0 Cx2，y=0 D、x=1，y=1（2）合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项。（3）合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。（4）去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。【例题】计算：7a2b+3ab24a2b-(2ab2-3ab)-4ab-(11ab2b-31ab6ab24、代数式的系数：【例题】2x3y的系数是_，的系数是_；a2b的系数是_，R2的系数是_。探索规律列代数式【例题】一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_颗。练习：观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见则第个图中看不见的小立方体有_个。4、代数式包括有理式和无理式。有理式包括整式和分式。考点2：整式一、整式知识体系二、基本的知识点知识点（一）：概念应用1、整式：单项式和多项式统称为整式。2、单项式：单项式有三种：单独的字母（如a,-w）；单独的数字（如125，-14562）；数字与字母乘积的一般形式（如-2s,-3/2a,5x/）。注意：单项式的系数是他的数字部分，如-23abc的系数 ；单项式的次数是它所有字母的指数和（不包括数字和的指数），如的次数是 。3、多项式：几个单项式的和叫做多项式。一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如是 次 项式。4、单独的一个非零数的次数是0。知识点（二）：公式应用 1、(m,n都是正整数）如 运用：已知求的值。2、(m,n都是正整数）如运用 ：如若则3、 (n是正整数)运用： 4、(a不为0，m,n都为正整数，且m大于n)。应用：如若 则5、；(a0,p是正整数).如6、平方差公式： 如 7、 完全平方公式： ； 。如 8、应用式：； 9、两位数 10ab；三位数 100a10bc。知识点（三）：运算：1、常见误区：； ； ； ； ； ； ； 2、简便运算：平方差公式：如完全平方公式：如三、重要考点子考点1：幂的意义和性质考点讲解1、幂的意义：几个相同数的乘法。2、幂的运算性质：（1）aman= am+n ；（2）（am）n= amn；（3）（ab）n= anbn；（4）aman= amn（a0，a，n均为正整数）【例题】计算（3a3）2：a2的结果是（ ） A9a2 B 6a2 C 9a2 D 9a4练习：1、下列计算正确的是（ ）A. C. 2、计算：0.2995101=_ 3、计算：（2x+3y）5（2x+3y）m+3=_4、三个连续奇数，若中间一个为n，则这三个连续奇数之积为（ ） A4n2n B. n24n C8n28a D8n22n3、特别规定：（1）a01（a0）；（2）a-p= 4、幂的大小比较的常用方法： 求差比较法：如比较的大小，可通过求差0可知： 求商比较法：如= 乘方比较法：如a3=2，b3=3，比较a、b大小可算 a15=（a3）5= 25=32，b15=（b5）333=27，可得：a15b15，即ab。 底数比较法：就是把所比较的幂的指数化为相同的数，然后通过比较底数的大小得出结果。 指数比较法：就是把所比较的幂的底数化为相同的数，然后通过比较指数的大小，得出结果。【例题】已知a=8131，b=2741,c=961,则a、b、c的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cabc Dbca练习：1、若a、b、c三数的大小关系是（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba2、计算：350、440、530的大小关系是（ ）A、350440530 B. 530350440 C、 530440350 D. 440530350混合运算1、已知2、若求(x2m)3+(yn)3x2myn的值。3、已知3m 9m27m81m=330,求m的值。子考点2：整式的概念及运算相关概念： 1、单项式： 2、多项式： 3、整式： 4、单项式的次数： 5、多项式的次数【例题】1、下列代数式，哪些是单项式？哪些是多项式？ab2, 5, ,2x3, (x+y), 2ab+2、若5x|m|y2(m2)xy3x是四次三项式，则m=_。3、指出下列单项式的系数及次数： ab2c, ,a3b2练习： 1、一个五次多项式，它的任何一项的次数（ ）A都小于5 B都小于5 C都不小于5 D都不大于52、在代数式：a6+5, 1, a23a,，x+整式的有（ ） A3个 B4个 C5个 D6个加减运算：1、添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都不变；括号前是“”号，括到括号里的各项的符号都改变。 2、同类项： 3、合并同类项：【例题】去括号：a（bc）=_【例题】已知：A=2x2+3ax2x1, B=x2+ax1且3A+6B的值与 x无关，求a的值。练习：证明代数式16a 8aa9（36a的值与a的取值无关。乘除运算：1、单项式乘以单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。2、单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3、多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把所得的积相加。4、单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。5、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。【例题】化简： 6、整式乘法的常见错误： （1）漏乘：如（在最后的结果中漏乘字母c）； （2）结果书写不规范 在书写代数式时，项的系数不能用带分数表示，若有带分数一律要化成假分数或小数形式； （3）忽略混合运算中的运算顺序整式的混合运算与有理数的混合运算相同，“有乘方，先算乘方，再算乘除，最后算加减：如果有括号，先算括号里面的”。【例题】化简：（2x）2+（6x312x4）（3x2）练习：m2(m4)(m)=_ （4） 运算结果不是最简形式 运算结果中有同类项时，要合并同类项，化成最简形式。 （5） 忽略符号而致错:在运算过程中和计算结果中最容易忽略“一”号而致错。子考点3：乘法公式应用（一）考点讲解：1、乘法公式：平方差公式（a+b）（ab）=a2-b2、完全平方公式：（ab）2=a22ab+b22、平方差公式的语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。3、平方差公式的结构特征：等号左边一般是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项是完全相同，另一项互为相反项问系数互为相反数，其他因数相同人与这项在因式中的位置无关。等号右边是乘积中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。4、运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式。如（abc）（ba+c）=（b+a）c）b（ac）=b2 （ac）【例题】下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ） （1）（2a3b）（3b2a）； （2）（2a 3b）（2a+3b） （3）（2a +3b）（2a 3b）；（4）（2a+3b）（2a3b）练习：1、如果（2a+2b+1）（2a+2b1）= 63，那么求a+ b的值。2、分解因式：x24y2=_5、完全平方式的语言叙述：（1）两数和(差)的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。(2)字母表示为：(ab）2=a22ab+b2； 【例题】下列各式中，形如a22ab+b2的多项式有（ ） A3个 B.4个 C5个 D6个练习：x2+ 6x+_ =（x+3）26、运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“ 2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算。混合运算【例】已知x2+y2=25，x+y=7，且xy，xy的值等于_【例】求值：（1）（1）（1）（1）（1）【例】已知a=2004B=2003C=2002求a2+b2c2+ab+ bcac的值。练习：1、（4x26y2）乘以下列哪个式子的负一倍，才能使用平方差公式进行计算（ ）A（4x6y）2 B4x26y2 C6y24x2 D、4x2 6y22、下列计算正确的是（ ） A（a+m）2a2+n2 B（st）2s2t2 C. (2x)2=4x22x+ D.(u+s)2=u2+ux+s23、已知x+y=3，xy=5，求代数式x2+y2的值。4、边长为a的正方形边长减少b(b0)以后，所得较小正方形的面积比原正方形面积减少了（ ） Ab2 B2 C2abb2 D2abb25、化简：（2x+y）（2xy）+（x+y）22（2x2xy）6、若x22x+y2+6y+10=0。则x=_济南中考历年部分真题2005年2、利用因式分解符合简便计算：5799449999正确的是_A、99(5744)991019999B、99(57441)991009900C、99(57441)9910210098D、99(574499)99219816、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、，则第10个数为_。2006年2下列计算错误的是（）17（本题5分）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解2007年2下列各式中计算结果等于的是（ ）ABCD11已知整式的值是2，的值是2，则（ ）A或B或C或D或12世界上著名的莱布尼茨三角形