第三章差分方程模型PPT参考课件.ppt

3 差分方程模型 差分方程 若干离散点上未知变量数值的方程 描述离散时间段上客观对象的动态变化过程 现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似 建立湖泊污水浓度以周为时段的差分方程模型 例湖泊污水浓度 受上游河流的流量 污水浓度等因素影响 湖泊污水浓度随时间变化 每周对湖泊和上游河流监测一次 获取数据 差分方程的基本类型及求解3 1贷款购房3 2管住嘴迈开腿3 3物价的波动3 4动物的繁殖与收获3 5中国人口增长预测 全国大学生数学建模竞赛2007年A题 3 差分方程模型 差分方程的基本类型及求解 xk 未知变量x在时段k的数值 k 0 1 2 1 一阶线性常系数差分方程 a b 常数 由x0按照方程递推计算x1 x2 求解公式 a 1 k 稳定平衡点 2 二阶线性常系数差分方程 由x0 x1按照方程递推地计算x2 x3 求解公式 1 2 特征根 c1 c2 常数 初始值x0 x1代入求解公式确定 特征方程 k 稳定平衡点 1 2 1 3 线性常系数差分方程组 x1 k x2 k xn k n个未知变量在时段k的数值 x k x1 k x2 k xn k T b b1 b2 bn T 3 线性常系数差分方程组 由x 0 按照方程递推地计算x 1 x 2 求解公式 A的特征根 1 k 稳定平衡点 4 简单的非线性差分方程 例离散形式的阻滞增长模型 r N 已知常数 由初始值x0按照方程递推计算x1 x2 每月还多少钱 3 1贷款购房 贷款购房需考虑的问题 买多大的房子 一共贷多少钱 网上的房贷计算器 轻击鼠标即得 输入必要信息 贷款购房 最简单的差分方程模型 单利和复利 单利 万元存5年定期 年利率4 75 到期后本息 本金加利息 10000 1 0 0475 5 12375元 两种计算利息的基本方式 复利 万元存1年定期 年利率为3 到期不取则自动转存 5年后本息 10000 1 0 03 5 11593元 利滚利 复利本息 1 r n 单位本金 同一利率r 同一存期n计算单利和复利 单利本息 1 nr 1 nr 零存整取 每月固定存额 约定存款期限 到期一次支取本息的定期储蓄 按单利计算的业务 零存整取 单利和复利 方式 5元起存 多存不限 存期1年 3年 5年 勤俭节约 科学理财 例每月存入3000元 存期 年 年利率3 5 零存整取计算器 累计存入金额180 000元到期本息总额196 012 50元 单利和复利 按单利计算的业务 零存整取 a 每月存入金额 r 月利率 n 存期 月 xk 存入k个月后的本息 k n递推至k a 3000 r 0 035 12 n 12 5 月 x1 a ar xk xk 1 a akr k 2 3 n x2 x1 a a2r xn na ar 1 2 n na ar 等额本息贷款和等额本金贷款 房贷计算器的选项 贷款类别 商业贷款 公积金 组合型 年利率不同 计算方法 根据贷款总额或面积 单价计算 按揭年数 可选 至30年 选择20年 银行利率 基准利率 利率上限或下限 选择商业贷款的基准利率6 55 还款方式 等额本息还款或等额本金还款 等额本息贷款和等额本金贷款 例1 房贷计算器 选择等额本息还款 输入 商业贷款总额100万元 期限20年 年利率6 55 建立等额本息还款方式的数学模型 并作数值计算 等额本息还款 每月归还本息 本金加利息 数额相同 等额本金还款 每月归还本金数额相同 加上所欠本金的利息 点击 开始计算 得 还款总额1796447 27元 月均还款7485 2元 等额本息还款模型 a 每月还款金额 x0 贷款总额 r 月利率 n 贷款期限 月 xk 第k月还款后尚欠金额 xk xk 1 1 r a k 1 2 n k n递推至k 贷款到期时xn 0 xn x0 1 r n a 1 1 r 1 r n 1 本月欠额 上月欠额的本息 还款金额 等额本息还款模型 A1 还款总额 a 每月还款金额 x0 贷款总额 r 月利率 n 贷款期限 月 例1x0 100 万元 r 0 0655 12 n 12 20 240 月 与房贷计算器给出的相同 例 房贷计算器 选择等额本金还款 输入 商业贷款总额100万元 期限20年 年利率6 55 等额本息贷款和等额本金贷款 建立等额本金还款方式的数学模型 并作数值计算 点击 开始计算 得到 还款总额1657729 17元 每月还款金额由第 月的9625元逐月递减 最后 月为4189 41元 等额本金还款模型 x0 贷款总额 r 月利率 n 贷款期限 月 xk 第k月还款金额 还款金额逐月减少归还本金x0 n所产生的利息x0r n 每月归还本金x0 n 第1月还款金额 k n递推至k 2 等额本金还款模型 x0 贷款总额 r 月利率 n 贷款期限 月 xk 第k月还款金额 A2 还款总额 例2x0 100 万元 r 0 0655 12 n 12 20 240 月 与房贷计算器给出的相同 等额本息与等额本金方式的比较 等额本息方式简单 便于安排收支 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式 后期低于等额本息方式 适合当前收入较高人群 等额本息方式还款总额大于等额本金方式 等额本息方式前期还款额较少 所欠本息的利息逐月归还 所以利息总额较大 例1例2 A1 1796447 27 元 A2 1657729 17 元 模型适用于任何还款周期 半月 一季度等 将公布的年利率折换为一个还款周期的利率 小结与评注 贷款购房两种基本还款方式 等额本息 等额本金 要点 明确利息计算 列出差分方程 利用递推关系 不同还款周期一次还款金额和还款总额都不一样 周期越短还款总额越小 3 2管住嘴迈开腿 测评体重的标准 体重指数 BMIBodyMassIndex BMI w l2 w 体重 kg l身高 m 例 l 1 70m w 63 5kg 多数减肥食品达不到减肥效果 或不能维持 通过控制饮食和适当运动 在不伤害身体的前提下 达到减轻体重并得以控制的目的 标准的身材 模型分析 人体通过食物摄入热量 通过代谢和运动消耗热量 二者平衡 体重不变 分析对热量的吸收和消耗 建立体重变化规律的模型 平衡被破坏则体重变化 减肥计划应以不伤害身体为前提 增加运动量是加速减肥的有效手段 以周为时间单位制订减肥计划 1 体重增加正比于吸收的热量 平均8000kcal增加体重1kg 2 代谢引起的体重减少正比于体重 每周每千克体重消耗200 320kcal 因人而异 3 运动引起的体重减少正比于体重 且与运动形式和运动时间有关 模型假设 4 为了安全与健康 每周吸收热量 10000kcal 且每周减少量 1000kcal 每周体重减少量 1 5kg 调查资料 食物每百克所含热量 运动每小时每千克体重消耗热量 模型假设 基本模型 c k 第k周吸收热量 kcal w k 第k周 初 体重 kg k 1 2 热量转换系数 平均8000kcal增加体重1kg 代谢系数 因人而异 由 和吸收热量c k 决定体重w k 的变化规律 减肥计划的提出 某人身高1 70m 体重100kg BMI高达34 6 目前每周吸收20000kcal热量 体重长期未变 制订减肥计划使体重减至75kg BMI 26 并维持下去 1 在正常代谢情况下安排一个两阶段计划 第一阶段 吸收热量每周减少1000kcal 直至达到安全下限10000kcal 周 2 为加快进程而增加运动 重新安排两阶段计划 3 给出达到目标后维持体重不变的方案 第二阶段 每周吸收热量保持下限 达到减肥目标 减肥计划的制定 1 确定某人的代谢消耗系数 每周每千克体重消耗20000 100 200kcal 每周吸收20000kcal 体重100kg不变 正常代谢消耗相当弱 1 8000 c k c w k 1 w k w w 100 c 20000 c k 2 正常代谢情况下的第一阶段计划 吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal 直至达到安全下限10000kcal 周 c k c 10 10000 第一阶段需10周 3 正常代谢情况下的第二阶段计划 吸收热量保持下限cmin 10000kcal 周 体重减至75kg c k 两阶段计划共需32周 第二阶段需22周 4 为加快进程而增加运动 t 每周运动时间 h 运动每小时每千克体重消耗热量 取 t 40 w 11 89 3319kg w 11 12 74 7388kg 第二阶段缩短为12周 两阶段计划共需22周 如每周步行7h加乒乓4h 5 检验 每周体重减少量 1 5kg 正常代谢 增加运动 编程计算w k w k w k 1 1 5kg 6 达到目标后维持体重不变的方案 每周吸收热量保持常数c使体重w 75kg不变 15000kcal 周 c由20000kcal 周直接减至15000 14000 13000 12000时体重w k 下降曲线 c 14000时w 72 75kg c 12000时w 40 75kg 比两阶段计划的时间长 吸收热量突减对身体不利 75kg 7 达到目标体重所需时间与每周吸收热量的关系 令目标体重w w n 1 记初始体重w1 w 1 c k k 1递推至k n w 75w1 100 小结与评注 减肥科学化 定量化 需要研究人体体重变化的规律 计算中由于增加运动使 由0 025提高到0 03时 变化20 减肥所需时间从32周减少到22周 变化约30 体重变化对 相当敏感 体重变化既有普遍规律也与每个人特殊生理条件有关 特别是代谢消耗系数 3 3物价的波动 消费者在自由竞争的市场经济中常会遇到商品价格的波动现象 供大于求 商品数量与价格在波动 3 3物价的波动 商品数量和价格主要由供求关系决定 供求平衡 供求失衡 波动的两种形式 振幅逐渐减小 最终趋向平稳 振幅越来越大 如不干预将导致经济崩溃 讨论政府的干预方式 描述波动现象 研究趋向平稳的条件 建立数量 价格模型 模型假设 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 时段 生产周期 饲养周期 种植周期 2 yk由消费者需求关系决定 3 xk 1由生产者供应关系决定 4 xk yk偏离x0 y0不大时 偏离yk y0与xk x0成正比 yk y0 价格过低 xk x0 供过于求 偏离xk 1 x0与yk y0成正比 差分方程模型 xk yk的差分方程组 消去yk y0 xk的差分方程模型 x0 y0稳定 xk x0 yk y0 xk yk x0 y0不稳定 差分方程模型 模型分析 例 平衡状态 x0 100 y0 10 元 设x1 110 x0 y0稳定 xk x0 yk y0 x0 y0不稳定 例 平衡状态 x0 100 y0 10 元 设x1 110 0 1 5 模型分析 xk yk 商品数量减少1单位 价格上涨幅度 价格上涨1单位 下时段 供应的增量 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度 小 有利于经济稳定 小 有利于经济稳定 模型分析 消费者需求关系 生产者供应关系 f与g的交点P0 x0 y0 平衡点 一旦xk x0 则yk y0 且xk 1 xk 2 x0 yk 1 yk 2 y0 蛛网模型 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 0 0 1 0 0 差分方程模型的图形表示 x1 设x1偏离x0 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 蛛网模型 斜率取绝对值 差分方程模型与蛛网模型的一致 x0 y0稳定 xk x0 yk y0 xk yk x0 y0不稳定 0 0 1 0 0 差分方程模型 蛛网模型 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 直线f斜率Kf 直线g斜率Kg 1 1 1 政府的干预办法 1 使 尽量小 如 0 以行政手段控制价格不变 2 使 尽量小 如 0 靠经济实力控制数量不变 差分方程模型的推广 1 0 0 根据当前和前一时段的价格决定下一时段的产量 生产者管理水平和素质提高 xk yk的差分方程组 已知 及x0 y0 由初始值x1 x2递推地计算xk yk 差分方程模型的推广 x0 y0不稳定 原模型 新模型 0 24 5不变 xk yk 1 0 0 xk x0 yk y0 0 0 1 2 1 x0 y0稳定 1 2 1 讨论稳定条件 二阶线性常系数差分方程 差分方程模型的推广 0 0 1 2 特征根 特征方程 稳定平衡点 1 2 1 比原模型的稳定条件放宽了 差分方程模型的推广 特征方程 稳定条件 xk x0 1 2 1 生产者管理水平和素质的提高有利于经济稳定 政府干预措施具有人们熟知的现实背景 小结与评注 对市场经济中 供不应求价格上涨 供过于求价格下跌 的现象用两种模型描述和解读 差分方程 便于运算 蛛网模型 直观鲜明 模型参数有明确的经济学含义 敏感系数 差分方程平衡点的稳定性有明显的实际意义 反映了数学与现实的密切关系 3 4动物的繁殖与收获 野生动物种群在自然环境下繁殖 成长 死亡 不同年龄动物的数量比例保持平衡 饲养动物种群在人类控制下 使不同年龄动物的数量比例达到稳定的预期目标 建立动物种群的自然增长模型 讨论饲养动物种群的稳定收获 按年龄分组的动物种群增长模型 不同年龄动物的繁殖率 死亡率差别较大 建立按年龄分组种群增长的差分方程模型 时段与年龄组相对应 种群通过雌性繁殖而增长 总体数量按性别比计算 讨论稳定状况下种群的增长规律 种群按照年龄等间隔地分为n个年龄组 时间分成与年龄组区间大小相等的时段 每个年龄组的雌性个体在一个时段内的繁殖率和死亡率不随时段变化 模型假设 在稳定环境下和不太长时期内 模型建立 xi k 第i年龄组第k时段的种群数量 i 1 2 n k 0 1 2 bi 第i年龄组的繁殖率 每个雌性个体一个时段繁殖的数量 di 第i年龄组的死亡率 一个时段内死亡数量在总量中的比例 si 1 di 存活率 bi 0 至少一个bi 0 0 si 1 sn 0 模型建立 第1年龄组 出生婴儿 k 1时段数量 各年龄组k时段繁殖数量之和 k时段第i年龄组存活的部分到k 1时段演变为第i 1年龄组 n个变量的差分方程组 已知bi si及xi 0 按年龄分组的种群增长模型 k 0 1 2 模型建立 Leslie矩阵 L矩阵 1 1 按年龄分组的种群数量 x k 的归一化向量 按年龄分组的分布向量 Leslie模型 模型求解 例 种群分5个年龄组 繁殖率为b1 0 b2 0 2 b3 1 8 b4 0 8 b5 0 2 存活率为s1 0 5 s2 0 8 s3 0 8 s4 0 1 各年龄组初始数量均为100只 求任意时段各年龄组数量x k 及分布向量x k x 0 x k 1 2 5 T 模型求解 x k 1 2 5 T x k 趋向稳定 x k 仍在增长 k充分大 结果分析 分析k充分大后x k x k 的变化规律 稳定状态分析的数学知识 对应特征向量x 矩阵L存在最大特征根 正单根 c 常数 满足 结果分析 k充分大x k x k 的特性 特征向量 1 分布向量 稳定分布 2 数量 与初始分布无关 各年龄组数量按同一倍数 固有增长率 增减 3 1时x k cx si等于同一时段相邻年龄组的数量比 结果分析 用算例验证x k x k 的特性 x 0 4559 0 2223 0 1734 0 1353 0 0132 T 模型求解中x 30 近似于x 1 由L计算得到 1 0254 2 模型求解中xi 30 与xi 29 之比约为 1 0254 3 1 0254比1略大 xi 1 30 与xi 30 之比近似于si 饲养动物种群的持续稳定收获模型 同一年龄组种群的收获量在每个时段都相等 实现方法 每个年龄组每个时段种群的增长量 同一时段的收获量 控制饲养动物各年龄组的数量 实现持续稳定收获 假定自然环境下饲养动物仍服从种群增长模型 种群数量始终不变 xi k 第i年龄组第k时段的种群数量 hi 第i年龄组种群的收获系数 收获量与总量之比 模型建立 增长量 收获量 种群增长模型 实现持续稳定收获 种群数量x k x 对k不变 模型建立 持续稳定收获 的最大特征根 给定bi si 选择收获系数hi 持续稳定收获 种群数量的稳定分布 模型建立 的特征向量 持续稳定收获 增长量 收获量 模型求解 例 设一个种群分成 个年龄组 各年龄组的繁殖率为b1 0 b2 5 b3 2 存活率为s1 0 8 s2 0 5 确定各年龄组的收获系数以实现持续稳定收获 持续稳定收获的条件 1 取h1 0 h2 0 75 h3 1 求种群及收获量按年龄组的稳定分布 持续稳定收获 2 取h1 0 5 h2 0 5 h3 1 模型求解 满足持续稳定收获条件 2 出售50 的幼畜和成年牲畜及全部老年牲畜 收获量的稳定分布 种群数量的稳定分布 1 不出售幼畜 出售75 成年牲畜及全部老年牲畜 1 h1 0 h2 0 75 h3 1 2 h1 0 5 h2 0 5 h3 1 1 2 1 2 小结与评注 人口增长与动物种群数量变化规律相同 类似建立离散型女性人口模型 Leslie模型 模型基本假定 种群参数 繁殖率 存活率 只与年龄有关 与时段无关 稳定环境 时间不长 Leslie矩阵为常数矩阵L 可用特征根方法作稳定性分析 3 5中国人口增长预测 全国大学生数学建模竞赛2007年A题 以发表在 工程数学学报 2007年增刊二上学生优秀论文为基本材料 加以整理 介绍建模过程 赛题原文 中国是一个人口大国 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一 根据已有数据 运用数学建模的方法 对中国人口做出分析和预测是一个重要问题 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点 例如 老龄化进程加速 出生人口性别比持续升高 以及乡村人口城镇化等因素 这些都影响着中国人口的增长 2007年初发布的 国家人口发展战略研究报告 附录1 还做出了进一步的分析 赛题原文 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发 参考附录2中的相关数据 也可以搜索相关文献和补充新的数据 建立中国人口增长的数学模型 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测 特别要指出你们模型中的优点与不足之处 关于中国人口问题已有多方面的研究 并积累了大量数据资料 附录2就是从 中国人口统计年鉴 上收集到的部分数据 附录2 中国人口统计年鉴 中的部分数据及其说明 附录1 国家人口发展战略研究报告 赛题原文 2005年人口抽样数据 20岁城市男性占城市总人口的0 69 死亡率为20岁城市男性总人口的0 59 20岁城市生育子女的妇女占20岁城市妇女总人口的29 01 问题分析 用数学建模预测人口增长的方法 差分方程 微分方程 回归分析 时间序列等 结合所给数据以差分方程组的Leslie模型为基础 考虑不同地区 不同性别人口参数的差别及农村人口向城市迁移等因素 按照地区和性别建立以时间和年龄为基本变量的中国人口增长模型 利用历史数据估计生育率 死亡率及人口迁移等参数 代入模型求解并作预测 模型假设 中国人口是封闭系统 将数据中的市 镇合并为城市 与农村 乡 作为两个地区 只考虑农村向城市人口的单向迁移 不考虑与境外的相互移民 对中短期人口预测 生育率 死亡率及人口迁移等参数用历史数据估计 长期预测考虑总和生育率的控制 城镇化指数的变化趋势等因素 女性每胎生育一个子女 模型建立 k年 i岁 不满i 1岁 地区j j 1城市 j 2农村 性别l l m男性 l w女性 的人口数量 死亡率 死亡人数占总人数的比例 存活率 生育率 k年每位i岁女性平均生育婴儿数 婴儿性别比 男婴比例 i1 i2 育龄区间 迁移数量 迁入为正 迁出为负 模型建立 1 1 i 1 2 n 1 l m w j 1 2 1 1 0 1 2 0 1 2 模型建立 k年每位育龄女性的生育数 假定所有女性在育龄期间都保持这个生育数 表述 控制人口增长的重要指标 生育率 k年每位i岁女性生育数 分析 生育模式 i岁女性生育数在育龄女性中的比例 模型建立 农村向城市迁移的人口数量 假设单向迁移 人口分布向量 存活率矩阵