人教版高中数学必修4课后习题答案详解.doc

第二章 平面向量 21平面向量的实际背景及基本概念练习（P77） 1、略. 2、. 这两个向量的长度相等但它们不等. 3、. 4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A组（P77） 1、 （2）. 3、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：. 4、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有： 5、. 6、（1）； （2）； （3）； （4）. 习题2.1 B组（P78） 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对与反向的也有6对；与同向的共有3对与反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为2的向量有2对 22平面向量的线性运算 练习（P84） 1、图略. 2、图略. 3、（1）； （2）. 4、（1）； （2）； （3）； （4）.练习（P87） 1、图略. 2、. 3、图略.练习（P90） 1、图略. 2、. 说明：本题可先画一个示意图根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向. 3、（1）； （2）； （3）； （4）. 4、（1）共线； （2）共线. 5、（1）； （2）； （3）. 6、图略. 习题2.2 A组（P91） 1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走km； （4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：表示船速表示河水 的流速以、为邻边作则 表示船实际航行的速度. 在RtABC中 所以 因为由计算器得 所以实际航行的速度是船航行的方向与河岸的夹角约为76. 4、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 5、略 6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则让学生理解若三个非零向量的和为零向量且这三个向量不共线时则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 7、略. 8、（1）略； （2）当时 9、（1）； （2）； （3）； （4）. 10、. 11、如图所示 . 12、 . 13、证明：在中分别是的中点所以且即； 同理 所以. 习题2.2 B组（P92） 1、丙地在甲地的北偏东45方向距甲地1400 km. 2、不一定相等可以验证在不共线时它们不相等. 3、证明：因为而 所以. 4、（1）四边形为平行四边形证略 （2）四边形为梯形. 证明： 且 四边形为梯形. （3）四边形为菱形. 证明： 且 四边形为平行四边形 又 四边形为菱形. 5、（1）通过作图可以发现四边形为平行四边形. 证明：因为 而所以所以即.因此四边形为平行四边形. 23平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100） 1、（1）； （2）； （3）； （4）. 2、. 3、（1）； （2）； （3）； （4） 4、. 证明：所以.所以. 5、（1）； （2）； （3）. 6、或 7、解：设由点在线段的延长线上且得 所以点的坐标为. 习题2.3 A组（P101） 1、（1）； （2）； （3）. 说明：解题时可设利用向量坐标的定义解题. 2、 3、解法一： 而. 所以点的坐标为. 解法二：设则 由可得解得点的坐标为. 4、解：. . 所以点的坐标为； 所以点的坐标为； 所以点的坐标为. 5、由向量共线得所以解得. 6、所以与共线. 7、所以点的坐标为； 所以点的坐标为； 故 习题2.3 B组（P101） 1、. 当时所以； 当时所以； 当时所以； 当时所以. 2、（1）因为所以所以、三点共线； （2）因为所以所以、三点共线； （3）因为所以所以、三点共线. 3、证明：假设则由得. 所以是共线向量与已知是平面内的一组基底矛盾 因此假设错误. 同理. 综上. 4、（1）. （2）对于任意向量都是唯一确定的 所以向量的坐标表示的规定合理. 24平面向量的数量积 练习（P106） 1、. 2、当时为钝角三角形；当时为直角三角形. 3、投影分别为0. 图略练习（P107） 1、. 2、. 3、. 习题2.4 A组（P108） 1、. 2、与的夹角为120. 3、. 4、证法一：设与的夹角为.（1）当时等式显然成立；（2）当时与与的夹角都为 所以 所以 ； （3）当时与与的夹角都为 则 所以 ； 综上所述等式成立. 证法二：设 那么 所以 ； 5、（1）直角三角形为直角. 证明：为直角为直角三角形 （2）直角三角形为直角 证明：为直角为直角三角形 （3）直角三角形为直角 证明：为直角为直角三角形 6、. 7、. 于是可得 所以. 8、. 9、证明： 为顶点的四边形是矩形. 10、解：设则解得或.于是或. 11、解：设与垂直的单位向量则解得或.于是或. 习题2.4 B组（P108） 1、证法一： 证法二：设.先证 由得即而所以再证由得 即因此 2、. 3、证明：构造向量. 所以 4、的值只与弦的长有关与圆的半径无关.证明：取的中点连接则又而所以 5、（1）勾股定理：中则 证明： . 由有于是 （2）菱形中求证： 证明： . 四边形为菱形所以 所以 （3）长方形中求证： 证明： 四边形为长方形所以所以 . 所以所以 （4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 25平面向量应用举例 习题2.5 A组（P113） 1、解：设 则 由得即 代入直线的方程得. 所以点的轨迹方程为. 2、解：（1）易知所以. （2）因为所以因此三点共线而且 同理可知：所以 3、解：（1）； （2）在方向上的投影为. 4、解：设的合力为与的夹角为 则； 与的夹角为150. 习题2.5 B组（P113） 1、解：设在水平方向的速度大小为竖直方向的速度的大小为 则. 设在时刻时的上升高度为抛掷距离为则 所以最大高度为最大投掷距离为. 2、解：设与的夹角为合速度为与的夹角为行驶距离为. 则. . 所以当即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1） 解：设则. . 将绕点沿顺时针方向旋转到相当于沿逆时针方向旋转到 于是 所以解得 （2） 解：设曲线上任一点的坐标为绕逆时针旋转后点的坐标为 则即 又因为所以化简得第二章 复习参考题A组（P118） 1、（1）； （2）； （3）； （4）. 2、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 3、 4、略解： 5、（1）； （2）； （3）. 6、与共线. 证明：因为所以. 所以与共线. 7、. 8、. 9、. 10、 11、证明：所以. 12、. 13、. 14、第二章 复习参考题B组（P119） 1、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 2、证明：先证. . 因为所以于是. 再证. 由于 由可得于是 所以. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证 又所以所以 再证. 由得即 所以 【几何意义为菱形的对角线互相垂直如图所示】 4、 而所以 5、证明：如图所示由于 所以 所以 所以同理可得 所以同理可得所以为正三角形. 6、连接. 由对称性可知是的中位线. 7、（1）实际前进速度大小为（千米时）沿与水流方向成60的方向前进； （2）实际前进速度大小为千米时沿与水流方向成的方向前进. 8、解：因为所以所以 同理所以点是的垂心. 9、（1）； （2）垂直； （3）当时；当时 夹角的余弦； （4）第三章 三角恒等变换 31两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127） 1、. . 2、解：由得； 所以. 3、解：由是第二象限角得； 所以. 4、解：由得； 又由得. 所以.练习（P131） 1、（1）； （2）； （3）； （4）. 2、解：由得； 所以. 3、解：由是第三象限角得； 所以. 4、解：. 5、（1）1； （2）； （3）1； （4）； （5）原式=； （6）原式=. 6、（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=； （4）原式=. 7、解：由已知得 即 所以. 又是第三象限角 于是. 因此.练习（P135） 1、解：因为所以 又由得 所以 2、解：由得所以 所以 3、解：由且可得 又由得所以. 4、解：由得. 所以所以 5、（1）； （2）； （3）原式=； （4）原式=. 习题3.1 A组（P137） 1、（1）； （2）； （3）； （4）. 2、解：由得 所以. 3、解：由得 又由得 所以. 4、解：由是锐角得 因为是锐角所以 又因为所以 所以 5、解：由得 又由得 所以 6、（1）； （2）； （3）. 7、解：由得. 又由是第三象限角得. 所以 8、解：且为的内角 当时 不合题意舍去 9、解：由得. . 10、解：是的两个实数根. . . 11、解： 12、解：又 13、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）. 14、解：由得 15、解：由得 16、解：设且所以. 17、解：. 18、解：即 又所以 19、（1）； （2）； （3）； （4）. 习题3.1 B组（P138） 1、略. 2、解：是的方程即的两个实根 由于所以. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一） （证明略）本题是开放型问题反映一般规律的等式的表述形式还可以是： 其中等等 思考过程要求从角三角函数种类式子结构形式三个方面寻找共同特点从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高. 4、因为则即所以 32简单的三角恒等变换 练习（P142） 1、略. 2、略. 3、略. 4、（1）. 最小正周期为递增区间为最大值为；（2）. 最小正周期为递增区间为最大值为3；（3）. 最小正周期为递增区间为最大值为2. 习题3.2 A组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用代替1用代替； （5）略； （6）提示：用代替； （7）提示：用代替用代替； （8）略. 2、由已知可有.（1）32可得（2）把（1）所得的两边同除以得注意：这里隐含与、之中 3、由已知可解得. 于是 4、由已知可解得于是. 5、最小正周期是递减区间为. 习题3.2 B组（P143） 1、略. 2、由于所以 即得 3、设存在锐角使所以 又又因为 所以 由此可解得 所以. 经检验是符合题意的两锐角. 4、线段的中点的坐标为. 过作垂直于轴交轴于. 在中. 在中 . 于是有 5、当时； 当时此时有； 当时此时有； 由此猜想当时 6、（1）其中 所以的最大值为5最小值为5； （2）其中 所以的最大值为最小值为；第三章 复习参考题A组（P146） 1、. 提示： 2、. 提示： 3、1. 4、（1）提示：把公式变形； （2）； （3）2； （4）. 提示：利用（1）的恒等式. 5、（1）原式=； （2）原式= =； （3）原式= =； （4）原式= 6、（1）； （2）； （3）. 提示：； （4）. 7、由已知可求得于是. 8、（1）左边=右边 （2）左边=右边 （3）左边=右边 （4）左边=右边 9、（1） 递减区间为 （2）最大值为最小值为. 10、 （1）最小正周期是； （2）由得所以当即时的最小值为. 取最小值时的集合为. 11、 （1）最小正周期是最大值为； （2）在上的图象如右图： 12、. （1）由得； （2）. 13、如图设则 所以 当即时的最小值为.第三章 复习参考题B组（P147） 1、解法一：由及可解得所以. 解法二：由 得所以.又由得.因为所以.而当时； 当时.所以即所以. 2、把两边分别平方得 把两边分别平方得 把所得两式相加得即所以 3、由 可得 . 又所以于是. 所