高考微点九　空间中的平行与垂直

高考微点九空间中的平行与垂直牢记概念公式，避免卡壳1.空间两直线的位置关系(1)相交；(2)平行；(3)异面(不同在任何一个平面内).2.空间平行关系的判定(1)线线平行：线面平行性质；面面平行性质；公理4；线面垂直性质.(2)线面平行：判定定理；面面平行性质.(3)面面平行：判定定理；线面垂直性质；面面平行传递性.3.空间垂直关系的判定(1)线面垂直：判定定理；面面垂直性质；ab，且ab.(2)面面垂直：判定定理；面面垂直定义.活用结论规律，快速抢分用平移法求异面直线所成角的一般步骤(1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角转化为求一个三角形的内角；(3)结论设由(2)求出的角的大小为，若090，则即为所求，若90180，则180即为所求.高效微点训练，完美升级1.已知两条相交直线a，b，且a平面，则b与平面的位置关系是()A.相交或平行 B.平行C.b在平面内 D.平行或b在平面内解析结合长方体模型，易知b或b与相交.答案A2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点.有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为()A. B. C. D.解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误，显然正确.答案C3.已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A.ABm B.ACmC.AB D.AC解析因为直线m，m，l，所以ml，所以ABm，ACm，选项A、B正确；根据线面平行的判定定理可得AB，选项C正确；当直线AC不在平面内时，尽管ACl，AC与平面可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC不一定成立.答案D4.如图所示，点P在正方形ABCD所在的平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A.90 B.60C.45 D.30解析将其放入正方体ABCDPQRS中，连接SC，AS，则PBSC，ACS(或其补角)是PB与AC所成的角.ACS为等边三角形，ACS60，PB与AC所成的角是60.答案B5.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A.PABC B.BC平面PACC.ACPB D.PCBC解析由PA平面ABC，知PABC，A正确.又AB是圆的直径，知ACB90，则BCAC，由于ACPAA，所以BC平面PAC，B项正确.又PC平面PAC，得PCBC，D项正确.答案C6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角的大小为()A.75 B.60 C.45 D.30解析如图，在四棱锥PABCD中，过P作PO平面ABCD于点O，连接AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影，PAO即为所求线面角.AO，PA1，cosPAO.PAO45，即所求线面角为45.答案C7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为()A.1 B. C. D.解析由PQ平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PMAA11.答案A8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别是AB，CD的中点，且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN的长度为_.解析如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则PMBD，PNAC，PNAC4，PMBD3.MPN即为异面直线AC与BD所成的角，MPN90，MN5.答案59.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).解析连接AC，BD，则ACBD，因为PA底面ABCD，所以PABD.又PAACA，所以BD平面PAC，所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC)10.空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD90，BCD90，且ABAD，则AC与平面BCD所成角的大小是_.解析如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.因为ABAD，所以AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，所以AO平面BCD.因此，ACO为AC与平面BCD所成的角.由于BAD90BCD，所以AOOCBD，又AOOC，所以ACO45.答案4511.如图，平面PAC平面ABC，ACBC，PEBC，M是AE的中点，N是PA上一点.(1)若N是PA的中点，求证：MN平面PAC；(2)若MN平面ABC，求证：N是PA的中点.证明(1)平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，ACBC，BC平面ABC，BC平面PAC.M是AE的中点，N是PA的中点，MNPE.又PEBC，MNBC，MN平面PAC.(2)设平面PAE平面ABCl.MN平面ABC，MN平面PAE，MNl.PEBC，BC平面ABC，PE平面ABC，PE平面ABC.又平面PAE平面ABCl，PE平面PAE，PEl，从而MNPE.在APE中，M是AE的中点，N是PA的中点.12.如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得ACBM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题知AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60，由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高.又PA1，知三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN.由MNPA，得.13.(2019湖南英才联考)如图1所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，CE4.如图2所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连接AB，BE，设点F是AB的中点.(1)求证：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积.(1)证明AC6，BC3，ABC90ACB60.又CD平分ACB，知BCDACD30，则CD2.在DCE中，CE4，DCE30，DE2CE2CD22CECDcos 304，则DE2.从而CD2DE2EC2，因此DEDC.又平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面