余弦定理优质课.ppt

1 1 2余弦定理 1 正弦定理可以解决三角形中的问题 已知两角和一边 求其他角和边 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 复习回顾 3 大角对大边 大边对大角 4 正弦定理 可以用来判断三角形的形状 其主要功能是实现三角形边角关系的转化 复习回顾 2 A B C 隧道工程设计 经常要测算山脚的长度 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A 量出A到山脚B C的距离 再利用经纬仪测出A对山脚BC 即线段BC 的张角 最后通过计算求出山脚的长度BC 已知 AB AC 角 两条边 一个夹角 实际问题 实际问题数学化 在 ABC中 已知边AC BC及 C 求AB 分析转化 任意一个三角形 已知两边和夹角 求第三边 一般化问题 证明 向量法 证明 以CB所在的直线为x轴 过C点垂直于CB的直线为y轴 建立如图所示的坐标系 则A B C三点的坐标分别为 坐标法 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 余弦定理 余弦定理 问题1 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系 如何看这两个定理之间的关系 剖析定理 勾股定理是余弦定理的特例 余弦定理是勾股定理的推广 问题2 公式的结构特征怎样 1 轮换对称 简洁优美 2 每个等式中有同一个三角形中的四个元素 知三求一 方程思想 剖析定理 3 已知a b c 三边 可以求什么 问题2 公式的结构特征怎样 剖析定理 1 已知三边求三个角 问题3 余弦定理在解三角形中的作用是什么 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 剖析定理 例1在 ABC中 已知b 60cm c 34cm A 41 解三角形 角度精确到1 边长精确到1cm 解 方法一 根据余弦定理 a b c 2bccosA 60 34 2 60 34 cos41o 1676 82 a 41 cm 接上页 由正弦定理得 因为c不是三角形中最大的边 所以C是锐角 利用计算器可得C 33 B 180o A C 180o 41o 33o 106 例1在 ABC中 已知b 60cm c 34cm A 41 解三角形 角度精确到1 边长精确到1cm 根据余弦定理 a b c 2bccosA 60 34 2 60 34 cos41o 1676 82 a 41 cm 由余弦定理得 所以利用计算器可得C 33 B 180o A C 180o 41o 33o 106 方法二 注意 一般地 在 知三边及一角 要求剩下的两个角时 应先求最小的边所对的角 思考 在解三角形的过程中 求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理 两种方法有什么利弊呢 例2 在 ABC中 已知a 7 b 10 c 6 求A B和C 解 A 44 B 180 A C 100 例3 已知 ABC中 a 8 b 7 B 600 求c及S ABC 整理得 c2 8c 15 0 解得 c1 3 c2 5 由A B C 180 求角A 由正弦定理求出b与c 解三角形的四种基本类型 正弦定理 余弦定理 由余弦定理求出第三边c 再由正弦定理求出剩下的角 正弦定理 由正弦定理求出角B 再求角C 最后求出c边 可有两解 一解或无解 余弦定理 先由余弦定理求出其中两个角 再利用内角和为180 求出第三个角 练习 C A 练习 ABC中 1 a 4 b 3 C 60 则c 14 6 2 a 2 b 3 c 4 则C 104 5 3 a 2 b 4 C 135 则A 练习 1 余弦定理推论 2 余弦定理的作用 1 已知