高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理创新应用教学案新人教A版选修4_1.doc

三 圆的切线的性质及判定定理对应学生用书P251切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径如图，已知AB切O于A点，则OAAB.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的说明在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线对应学生用书P25圆的切线的性质例1如图，已知C90，点O在AC上，CD为O的直径，O切AB于E，若BC5，AC12.求O的半径思路点拨O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造RtOAE，再利用相似三角形的性质，求出O的半径解连接OE，AB与O切于点E，OEAB，即OEA90.C90，AA，RtACBRtAEO，.BC5，AC12，AB13，OE.即O的半径为.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等1如图，AB切O于点B，延长AO交O于点C，连接BC.若A40，则C()A20B25C40 D50解析：连接OB，因为AB切O于点B，所以OBAB，即ABO90，所以AOB50.又因为点C在AO的延长线上，且在O上，所以CAOB25.答案：B2.如图，已知PAB是O的割线，AB为O的直径PC为O的切线，C为切点，BDPC于点D，交O于点E，PAAOOB1.(1)求P的度数；(2)求DE的长解：(1)连接OC.C为切点，OCPC，POC为直角三角形OCOA1，POPAAO2，sin P.P30.(2)BDPD，在RtPBD中，由P30，PBPAAOOB3，得BD.连接AE.则AEB90，AEPD.EABP30，BEABsin 301，DEBDBE.圆的切线的判定例2已知D是ABC的边AC上的一点，ADDC21，C45，ADB60，求证：AB是BCD的外接圆的切线思路点拨.证明如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.DCB是所对的圆周角，BOD是所对的圆心角，BCD45，BOD90.ADB是BCD的一个外角，DBCADBACB604515，DOC2DBC30，从而BOC120，OBOC，OBCOCB30.在OEC中，因为EOCECO30，OEEC，在BOE中，因为BOE90，EBO30.BE2OE2EC，ABOD，ABO90，故AB是BCD的外接圆的切线要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线3本例中，若将已知改为“ABDC”，怎样证明：AB是BCD的外接圆的切线证明：作直径BE，连接DE，BE是O的直径，BDE90，EDBE90.CE，ABDC，ABDDBE90.即ABE90.AB是BCD的外接圆的切线4.如图，ABC内接于O，点D在OC的延长线上，sin B，D30.(1)求证：AD是O的切线(2)若AC6，求AD的长解：(1)证明：如图，连接OA，sin B，B30，AOC2B，AOC60，D30，OAD180DAOC90，AD是O的切线(2)OAOC，AOC60，AOC是等边三角形，OAAC6，OAD90，D30，ADAO6.圆的切线的性质和判定的综合考查例3如图，AB为O的直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线BF交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是O的切线；(2)若DE3，O的半径为5，求BF的长思路点拨(1)连接OD，证明ODDE；(2)作DGAB.证明(1)连接OD，D是中点，12.OAOD，23.13.ODAE.DEAE，DEOD，即DE是O的切线(2)过D作DGAB，12，DGDE3.在RtODG中，OG4，AG459.DGAB，FBAB，DGFB.ADGAFB.BF.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果5.如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G，若小圆的半径为2，EF4，试求EG的长解：连接GC，则GCED.EF和小圆切于C，EFCD，ECEF2.又CD4，在RtECD中，有ED 2.由射影定理可知EC2EGED，EG.6如图，以RtABC直角边AC上一点O为圆心，OC为半径的O与AC的另一个交点为E，D为斜边AB上一点且在O上，AD2AEAC.(1)证明：AB是O的切线；(2)若DEOB8，求O的半径解：(1)证明：连接OD，CD，AD2AEAC，.又DAEDAC，DAECAD，ADEACD.ODOC，ACDODC，又CE是O的直径，ODECDO90，ODA90，AB是O的切线(2)AB，BC是O的切线，OBDC，DEOB，CEDCOB，EDCOCB，CDEBCO，DEOB2R28，O的半径为2.对应学生用书P27一、选择题1下列说法：与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线其中正确的有()ABC D答案：C2如图，AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于D.AB6，BC8，则BD等于()A4 B4.8C5.2 D6解析：AB是O的直径，BDAC.BC是O的切线，ABBC.AB6，BC8，AC10.BD4.8.答案：B3.如图，CD切O于B，CO的延长线交O于A，若C36，则ABD的度数是()A72 B63C54 D36解析：连接OB.CD为O的切线，OBC90.C36，BOC54.又BOC2A，A27，ABDAC273663.答案：B4如图，在O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若ADDC，则sin ACO等于()A. B.C. D.解析：连接BD，则BDAC.ADDC，BABC，BCA45.BC是O的切线，切点为B，OBC90.sin BCO，cos BCO.sin ACOsin(45BCO)sin 45cos BCOcos 45sin BCO.答案：A二、填空题5如图，已知AOB30，M为OB边上一点，以M为圆心、2为半径作M.若点M在OB边上运动，则当OM_时，M与OA相切解析：若M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.过M作MNOA于点N，则MN2.在RtMON中，MON30，OM2MN224.答案：46已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB1.则圆O的半径R_.解析：AB.由AB2PBBC，BC3，RtABC中，AC2.R.答案：7圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则DAC_，DC_.解析：连接OC，OCOB，OCBOBC.又DCAACO90，ACOOCB90，DCAOCB，OC3，BC3，OCB是正三角形OBC60，即DCA60.DAC30.在RtACB中，AC3，DCACsin 30.答案：30三、解答题8.如图所示，D是O的直径AB的延长线上一点，PD是O的切线，P是切点，D30 .求证：PAPD.证明：如图，连接OP，PD是O的切线，P为切点POPD.D30，POD60.又OAOP，AAPO30.AD.PAPD.9.如图，已知在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于D，过D点作O的切线交AC于E.求证：(1)DEAC；(2)BD2CECA.证明：(1)连接OD，AD.DE是O的切线，D为切点，ODDE.AB是O的直径，ADBC.又ABAC，BDDC.ODAC.DEAC.(2)ADBC，DEAC，CDECAD.CD2CECA.BDDC.BD2CECA.10.如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE.(1)求证：AE是O的切线；(2)若DBC30，DE1 cm，求BD的长解：(1)证明：连接OA.DA平分BDE，BDAEDA.OAOD，ODAOA