高中数学教案必修1第十一讲：函数模型及其应用.doc

博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年 级：高 一 日期：辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间：课 题第十一讲：函数模型及其应用授课日期 教学目标1、培养学生根据实际问题进行信息综合列出函数解析式；2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论.教学内容函数模型及其应用教学重点与难点教学重点：根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型；教学难点：根据数学模型解决实际问题。教学过程来源:Zxxk.Com一、创设情境，导入课题在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.这段话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型.2、 提出问题，探索新知我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时. 设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x).A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.分析以上实例属于那种函数模型.讨论结果：f(x)=5x(15x40).g(x)=y=5x2+(100x)2(10x90)；分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.三、应用示例例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.图3-2-2-1活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km与时间t h的函数为分段函数.解：(1)阴影部分的面积为501+801+901+751+651=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图，有s=这个函数的图象如图3-2-2-2所示.图3-2-2-2变式训练 电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MNCD).(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.图3-2-2-3解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)=g(x)=(2)当f(x)=g(x)时,x-10=50,x=200.当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;当客户通话时间为0x200分钟，g(x)f(x),故选择方案A；当客户通话时间为x200分钟时，g(x)f(x),故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert,其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是19501959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设19511959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的人口增长率为r10.020 0.同理,可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184.于是，19501959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r1+r2+r9)90.0221.令y0=55 196，则我国在19511959年期间的人口增长模型为y=55 196e0.0221t,tN.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55 196e0.0221t(tN)的图象(图3-2-2-4).图3-2-2-4由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合.(2)将y=130000代入y=55 196e0.0221t,由计算器可得t38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练 一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.(1)求t年后,这种放射性元素质量的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后,=500(110%)=5000.91;经过2年后,=5000.9(110%)=5000.92;由此推知,t年后,=5000.9t.(2)解方程5000.9t=250,则0.9t=0.5,所以t=6.6(年),即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练 某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449)活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得x(1+50%)=5000(1+20%)80%,解得x=3200(元).(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1y)4=3200,解得y1=1,y2=1+(舍去).所以y=10.11=11%,即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系.拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调彩电冰箱每台所需工时每台产值(千元)432问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少?(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，则f=4x+3y+2z，其中由可得y=360-3x,z=2x,代入得则有30x120.故f=4x+3(360-3x)+22x=1080-x,当x=30时，fmax=1 080-30=1050.此时y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元.点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面的实例细心体会.四、课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.5、 课后练习1按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8，零存每月利息2，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币（）A万元B万元C万元D万元解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8计算，而半年按6个月（月息2）计算，又由于是复利问题，故只有选B2某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）解析：由于d表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D。3.商店某种货物的进价下降了8，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r增加到（r10），那么r的值等于（）A12B15C25D50解析：销售利润100设销售价为y，进价为x，则解之得r15。4如下图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点沿着ABCM运动时，以点经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，当0x1时，yx1x；当1x2时，y1（x1）（2x）x；当2x2.5时，y（x）1x则图形为A。5有一质量均匀的杠杆的支点在它的一端，而距支点1m处挂一个490kg的物体，同时加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平，若杠杆本身每米重5kg，则最省力的杆长为_。答案：14m解析：如图所示，设杆长为xm，向上用力为F依杠杆原理易得49015xFx，则F70，当且仅当，即x14m时，F的最小值为70kg。6甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度vkm/h的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案：（1）y，0vc；（2）当c，v时，最小值为2s；当c，vc时，最小值为s（bc）。7为了适应国民经济的发展需要，某市政府决下进行经济结构调整，加快发展第三产业.已知该市现有第二产业从业人员100万人，平均每人全年可创造产值a万元，现欲从中分流出x万人去从事第三产业，假设分流后继续从事第二产业的人员平均每人全年创造产值大约可增加2x%，而分流出的从事第三产业的人员，平均每人全年可创造产值ab万元(a,b均为正常数，0x100).(1)在保证该市第二产业的产值不能减少的情况下，求x的取值范围.(2)在(1)的条件下，当该市第二、三产业的总