江苏省南通市通州区2020届高三第二次调研抽测数学试题 PDF版含答案

2020届高三第二次调研抽测 数学l 参考公式 柱体的体积公式vtt体 Sh 其中S为柱体的底面积 h为高 一 填空题 本大题共14小题 每小题5分 共70分 请把答案填写在答题卡相应位置 1 己知复数z满足z I 2i 3 4i i 为虚数单位 则lzl L 2 己知集合A 1 a2 4 B 2叫 如ns 0 则实数a的值为一生一 3 如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩 数据的平均分为 L I l 7 I 7 8 8124468 9 I 3 4 第3题 While I 9 S 2 I 1 I 1 2 End While Print S 4 执行如图所示的伪代码 则输出的结果为 A 第4题 5 甲 乙 丙 丁4名大学生参加两个企业的实习 每个企业两人 则 甲 乙两人 恰好在同 一企业 的概率为 一 6 函数 f x 萨的定义域为i 7 己知双曲线主二 L 1的右准线与渐近线的交点在抛物线y2 2px上 则实数p的值 4 12 为A 8 己知高为3的圆柱内接于一个直径为5的球内 则该圆柱的体积为一主一 9 己知等比数列 a 的各项均为正数 若 3 2 则 a1 2a5的最小值为 一 10 在平面直角坐标系 xOy 中 己知圆C x2 y 1 2 1 圆C x 2 fj 2 y2 6 直线 l y kx 3 与圆C相切 且与圆C 相交于A B两点 则弦AB的长为一A 一 11 己知函数 f x x 2同一1 若关于x的不等式f xi 一2x 2a f ax 3 运0对任意 的 x e l 3 恒成立 则实数 的取值范围是 L 数学l试卷A第1 页 共 4 页 12 在6 ABC中 己知a b c分别是角A B C的对边 若 b c成等比数列 且 b c b c a2 lac 则 的值为 tanA tanC 13 如图 己知半圆0的直径AB 8 点P是弦AC 包含端点A C 上的动点 点Q 在弧走上 若6 0AC是等边三角形 且满足苟 OP O 则OP 豆豆的最小值为主 14 若函数f x x2 ax b a be R 在区间 0 1 上有零点Xo 则叫王 L l 的 4 9x0 3 J 最大值为 A 第13题 二 解答题 本大题共6小题 共90分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分14分 如图 在平面直角坐标系x句中 A为单位圆与x轴正半轴的交点 P为单位圆上 一点 且LAOP 将点P沿单位圆按逆时针方向 旋转角 后到点舱 的 其中 3el旦 主l I 6 3 I 1 若点P的坐标为 主 匀 旦时 求ab的值 飞5 5 4 2 若 二号 求bz一旷的取值范围 16 本小题满分14分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PAJ 平面ABCD 且PA AD E F分别是 棱础 PC的中点 求证 I EF II平面PAD 2 平面PCE上平面PCD 数学l 试卷第2页 共4页 y A x 第15题 p 第16题 17 本小题满分14分 中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利 极大促进了区域经济社会发展 己知 某条高铁线路通车后 发车时间间隔t 单位 分钟 满足5运 三25 t e N 经测算 高铁的载客量与发车时间间隔t相关 当20运t 25时高铁为满载状态 载客量为1000 人 当 5 三tb O 的离心率为i右焦点F 到右准线的距离为3 1 求椭圆C的方程 过点F作直线I 不与X轴重合 和椭圆C交于M N两点 设点A 1 0 若 1A阳的面积为手 求直线l方程 过点M作与Y轴垂直的直线l 和直线NA交于点P 求证 点P在 一条定直线上 y 第18题 数学l试卷第3页 共4页 19 本小题满分16分 己知函数f x lnx 2ax aeR g x x2 1 2f x I 当 1时 求函数f x 在点A l f l 处的切线方程 比较f m 与f 乡的大小 当 0时 若对 ixe l oo 时 g x 沈阳 x 有唯一零点 证明 a f 20 本小题满分16分 旦主旦 己知数列 an 的前n项积为丑 满足汇 3 2 n e N 数列 的首项为2 且满足n战时 n 1 n N 1 求数列 a 的通项公式 2 记集合M nl a c b11bn l IOn 5 neN丁 若集合M的元素个数为2 求 实数 的取值范围 3 是否存在正整数p q r 使得a1 a2 q bP r aq成立 如果存在 请写出p q r满足的条件 如果不存在 请说明理由 数学l试卷第4页 共4页 2020届高三第二次调研抽测 数学H 附加题 21 本题包括A B共2小题 每小题10分 共20分 把答案写在答题卡相应的位置上 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修牛一2 矩阵与变换 设点 x y 在矩阵M对应变换作用下得到点 x x y 1 求矩阵M 2 若直线l x 2y 5在矩阵M对应变换作用下得到直线l 求直线l 的方程 B 选修4 4 极坐标与参数万程 Ix 3t l 在平面直角坐标系x命中 己知直线l的参数方程为 t为参数 曲线C的 ly 4t 3 Ix acos 参数方程为 为参数 a t O 若直线l与曲线C恒有公共点 求实 Ly asm 数a的取值范围 数学川试卷第1页 共2页 22 必做题 本题满分10分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 某校高一年级模仿 中国诗词大会 节目举办学校诗词大会 进入正赛的条件为z电 脑随机抽取10首古诗 参赛者能够正确背诵6首及以上的进入正赛 若学生甲参赛 他 背诵每一首古诗的正确的概率均为j 1 求甲进入正赛的概率 2 若进入正赛 则采用积分淘汰制 规则是z电脑随机抽取4首古诗 每首古诗背 诵正确加2分 错误减1分 由于难度增加 甲背诵每首古诗正确的概率 为 求甲在正赛中积分X的概率分布列及数学期望 23 必做题 本题满分10分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 已知抛物线C y2 2x的焦点为F 准线为I p为抛物线C上异于顶点的动点 过点P作准线l的垂线 垂足为H 若 6 PHF与 6 POF的面积之比为2 1 求 点P的坐标 2 过点M M作一条直线m与抛物线C交于不同的两点A B 若两直线 PA PB斜率之和为2 求点P的坐标 数学II试卷第2页 共2页 数学试卷及答案 第 1 页 共 8 页 2020 届高三第二次调研抽测 数学参考答案及评分建议 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 5 2 1 2 3 85 4 15 5 1 3 6 1 0 5 xx 7 3 2 8 12 9 4 210 1511 40a 12 3 2 4 13 8 14 1 144 解析 法一法一 x02 ax0 b 0 得 b x02 ax0 从而 ab x0 4 1 9x0 1 3 a x0 2 ax 0 x 0 4 1 9x0 1 3 1 36 a x0 a 3x0 2 2 当 a 0 或 a x0时 1 36 a x0 a 3x0 2 2 0 当 x0 a 0 时 令 f x x a 3x 2 2 x 0 1 则 f x 27x2 24 18a x 4 12a 9x2 24x 4 12a 3x 2 2 12 a x 0 所以 f x 在 0 1 上单调增 x a 3x 2 2 1 a 所以 ab x0 4 1 9x0 1 3 1 36a 1 a 1 144 法二法二 同法一 得 ab x0 4 1 9x0 1 3 1 36 a x0 a 3x0 2 2 当 a 0 或 a x0时 1 36 a x0 a 3x0 2 2 0 当 x0 a 0 时 1 36 a x0 a 3x0 2 2 1 144 x0 2 3x 0 2 2 1 144 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 15 解 1 cos 4 a sin 4 b 2 分 所以 11 cos sin sin 2 cos2 44222 ab 4 分 因为 3 cos 5 所以 2117 cos2 2cos1 2250 ab 6 分 2 cos 6 a sin 6 b 所以 2222 sin cos cos 2 663 ba 10 分 因为 2 63 所以 5 2 333 所以 1 cos 2 1 32 所以 221 1 2 ba 14 分 数学试卷及答案 第 2 页 共 8 页 B C D A P E G F 16 证 1 如图 取 PD 中点 G 连接 AG FG 因为E是棱AB的中点 底面ABCD是矩形 所以 AE CD 且 1 2 AECD 2 分 又FG 分别是棱PCPD 的中点 所以 FG CD 且 1 2 FGCD 所以 AE FG 且AEFG 所以四边形 AEFG 为平行四边形 4 分 所以 EF AG 因为EF 平面 PAD AG 平面 PAD 所以EF 平面 PAD 6 分 2 因为PAAD G分别是棱PD的中点 所以AGPD 因为 EF AG 所以EFPD 8 分 因为PA 平面ABCD CD 平面ABCD 所以PACD 因为底面ABCD是矩形 所以ADCD 因为PAAD 平面PAD PAADA 所以CD 平面PAD 10 分 因为AG 平面PAD 所以CDAG 因为 EF AG 所以EFCD 又因为CDPD 平面 PCD CDPDD 所以 EF 平面 PCD 12 分 因为 EF 平面 PCE 所以平面 PCE 平面 PCD 14 分 17 解 1 当5 20t 时 不妨设 2 1000 20 P tkt 因为 5 100P 所以解得4k 3 分 所以 2 10004 20 520 10002025 ttt P t tt N N 5 分 2 当520t 时 23 4065020005002000 4 t Q tP ttttt 数学试卷及答案 第 3 页 共 8 页 所以 2 2000 500 Q t y tt tt 520t t N 7 分 设 22000 500f 520 则 3 22 2 1000 2000 2f 当510 时 0f f 单调递增 当1020 时 0f f 单调递减 所以 max 10 200ff 所以当10t 时 Q t t 取最大值 200 10 分 当2025t 时 2 409002000Q ttt 所以 50 90040 Q t y tt tt 2025t t N 设 50 90040 g 2025 则 2 22 40 50 50 40 1 0g 所以 g 单调递减 所以 max 20 0gg 所以当20t 时 Q t t 取最大值 0 13 分 综上 发车时间间隔为 10 分钟时 单位时间的净收益 Q t t 最大 14 分 18 解 1 由题意 2 222 1 2 3 c a a c abc 解得 2 3 a b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 43 y x 4 分 2 当直线l斜率不存在时 方程为1x 此时 3 1 2 M 3 1 2 N 不合题意 5 分 当直线l斜率存在时 设方程为 1 yk x 由 2 2 1 43 1 y x yk x 消去y得 2222 34 84120kxk xk 数学试卷及答案 第 4 页 共 8 页 设 1 M xy 1 22 N xy 由题意 0 且 2 12 2 8 34 k xx k 2 12 2 412 34 k xx k 所以 2 2 12121212 2 12 1 4 34 kk yyk xxkxxx x k 8 分 因为 5 0 2 A AMN 的面积为 6 3 5 所以 12 6 315 1 225 yy 即 2 2 12 1 8 3 5 34 kk k 解得 3k 所以直线l的方程为3 1 yx 10 分 当直线l的斜率不存在时 直线NA的方程为 2 250 xy 令 3 2 y 得4x 所以直线NA与 l 的交点P的坐标为 3 4 2 11 分 当直线l的斜率存在时 由 知 2 12 2 8 34 k xx k 2 12 2 412 34 k xx k 由直线NA的方程为 2 2 5 2 5 2 y y x x 令 1 yy 得 112 2 2 22 5 11 52 21 55 22 yk xk x x yk x xx 12122 2 5 441 2 1 kx xxxkk x k x 33 2 22 2 41258 441 2 3434 1 kkk kk x kk k x 33 222 2 41258 441 2 3434 1 kkk kk x kk k x 2 2 41 4 1 k x k x 所以直线NA与 l 的交点P的坐标为 1 4 y 综上所述 点P在一条定直线4x 上 16 分 19 解 1 当1a 时 ln2f xxx 1 2fx x 所以 1 1 f 又 1A 所以切线方程为 21yx 即10 xy 4 分 数学试卷及答案 第 5 页 共 8 页 令 1122 ln2 ln 2ln2h mf mfmmmm mmmm 则 2 22 2 1 22 20 mm h m m mm 所以 h m在 0 上单调递减 又 1 0h 所以当01m 时 0h m 即 1 f mf m 当1m 时 0h m 即 1 f mf m 当1m 时 0h m 即 1 f mf m 8 分 2 由题意 2 12ln40 xxax 而 2 2 21 2 24 xax g xxa xx 令 0g x 解得 2 1xaa 因为0a 所以 2 11aa 所以 g x 在 1 上有唯一零点 2 0 1xaa 当 0 1xx 时 0g x g x在 0 1x 上单调递减 当 0 xx 时 0g x g x在 0 x 上单调递增 所以 min0 g xg x 10 分 因为 0g x 在 1 上恒成立 且 0g x 有唯一解 所以 0 0 0 0 g x g x 即 0 0 2 000 2 240 12ln40 xa x xxax 12 分 消去a得 2 0000 0 12ln0 2 2xxxx x 即 2 00 2ln30 xx 令 2 000 2ln3h xxx 则 00 0 2 2h xx x 因为 0 0h x 在 1 上恒成立 所以 0 h x在 1 上单调递减 又 120h 22ln210h 所以 0 12x 14 分 因为 0 0 1 2 1 ax x 在 1 上单调递增 所以 3 4 a 16 分 20 解 1 因为 1 2 3 n n n T 所以当2n 时 1 2 1 12 1 2 3 3 3 n n nn n nn n T a T 数学试卷及答案 第 6 页 共 8 页 而当1n 时 11 1aT 适合上式 所以 1 3n n a 3 分 因为 1 1 nn nbnb 即 1 1 nn bb nn 所以数列 n b n 是常数数列 所以 1 1 2 1 n bb b n 所以2 n bn 6 分 2 由 1 知 不等式 1 105 nnn ab bn 即为 1 4 1 105 3n n nn 设 1 4 1 105 3n n nn f n 因为 1 4 1 2 10154 1 105 1 33 nn nnnn nn f nf n 2 40 1 223 3n nnn 所以 1 2 3 4 ffff 8 分 而 560400 1 120 2 200 3 4 33 ffff 要使 1 4 1 105 3n n nn 只有 2 解 则有 400560 33 10 分 3 假设存在正整数 p q r 因为 21 12 31 1333 2 q q q aaa 所以有 1 31423 qq pr 若2r 则 11 234 331 qqq r 不成立 所以1r 1 31 4 q p 12 分 若q为奇数 当1q 时 0p 不成立 当1q 时 设 21 qkk N 则 12 313191 444 qkk p Z 14 分 若q为偶数 设2qk k N 则 2111 313 91911 3 4442 kkk p 数学试卷及答案 第 7 页 共 8 页 因为 1 91 4 k Z 所以p Z 综上所述 当q为大于 1 的奇数时 1r 1 31 4 q p 当q为偶数时 不存在 16 分 数学 附加题 21 本题包括 A B 共 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 A 解 1 设 ab cd M 由题意 2abxx cdyxy M 所以2axbyx 且cxdyxy 恒成立 所以2011abcd 所以 20 11 M 4 分 2 设点 x y 在直线 l 上 在矩阵M对应变换作用下得到点 xy 在直线 l 上 则2xx yxy 所以 1 2 x x 1 2 yyx 代入直线25xy 可得 34100 xy 所以直线 l 的方程为34100 xy 10 分 B 解 由 31 43 xt yt 消去参数t 可得直线l的普通方程为4350 xy 3 分 由 cos sin xaa ya 消去参数 可得曲线C的普通方程为 222 xaya 6 分 因为直线l与圆 C 恒有公共点 所以 22 45 4 3 a a 8 分 所以实数a的取值范围 5 9 a 或5a 10 分 22 解 1 甲进入正赛的概率为