数学人教版九年级下册相似三角形的判定.pptx

例1 如图 D E分别是 ABC的边AB AC上的点 DE BC AB 7 AD 5 DE 10 求BC的长 解 DE BC ADE B AED C ADE ABC 两角分别相等的两个三角形相似 BC 14 例2 如图 ABC中 DE BC EF AB 求证 ADE EFC 解 DE BC EF AB AED C A FEC ADE EFC 两角分别相等的两个三角形相似 2 如图 在Rt ABC中 C 90 正方形EFCD的三个顶点E F D分别在边AB BC AC上 已知AC 7 5 BC 5 求正方形的边长 利用两角判定三角形相似 定理 两角分别相等的两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理1的运用 讲授新课 我们来证明一下前面得出的结论 A B C ABC A D AB A E AC 又 A A A DE ABC A B C ABC 由此得到三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 解 AE 1 5 AC 2 又 EAD CAB ADE ABC 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 BC 3 DE 例1 如图所示 D E分别是 ABC的边AC AB上的点 AE 1 5 AC 2 BC 3 且 求DE的长 A C B E D 例2 如图 在 ABC中 CD是边AB上的高 且求证 ACB 90 A B C D 1 如图 D是 ABC一边BC上一点 连接AD 使 ABC DBA的条件是 A AC BC AD BDB AC BC AB ADC AB2 CD BCD AB2 BD BC D 当堂练习 2 已知在Rt ABC与Rt A B C 中 A A 90 AB 6cm AC 4 8cm A B 5cm A C 3cm 求证 A B C ABC 证明 A A 90 ABC A B C 3 ABC为锐角三角形 BD CE为高 求证 ADE ABC 证明 BD AC CE AB ABD A 90 ACE A 90 ABD ACE 又 A A ABD ACE A A ADE ABC 利用两边及夹角判定三角形相似 定理2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理2的运用 讲授新课 我们来证明一下前面得出的结论 A B C ABC A E AC DE BC A DE ABC A B C ABC 由此得到三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似 例1 如图所示 在 ABC和 ADE中 BAD 20 求 CAE的度数 解 ABC ADE 三边成比例的两个三角形相似 BAC DAE BAC DAC DAE DAC 即 BAD CAE BAD 20 CAE 20 A B C D E 例2 如图 在Rt ABC与Rt A B C 中 C C 90 且求证 A B C ABC 当堂练习 1 已知 ABC和 DEF 根据下列条件判断它们是否相似 3 AB 12 BC 15 AC 24 DE 16 EF 20 DF 30 2 AB 4 BC 8 AC 10 DE 20 EF 16 DF 8 1 AB 3 BC 4 AC 6 DE 6 EF 8 DF 9 是 否 否 注意 大对大 小对小 中对中 2 如图 ABC与 A B C 相似吗 你用什么方法来支持你的判断 解 这两个三角形相似 设1个小方格的边长为1 则 3 在 ABC和 A B C 中 已知 AB 6cm BC 8cm AC 10cm A B 18cm B C 24cm A C 30cm 求证 ABC与 A B C 相似 证明 ABC A B C 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定三角形相似 定理 三边对应成比例的两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理3的运用 导入新课 问题 相似三角形的判定方法有哪些 两角对应相等 两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 讲授新课 在上两节中 我们探索了三角形相似的条件 稍候我们将对它们进行证明 定理1 两角分别相等的两个三角形相似 已知 如图 在 ABC和 A B C 中 A A B B 求证 ABC A B C A B C A B C A B C A B C 证明 在 ABC的边AB 或它的延长线 上截取AD A B 过点D作BC的平行线 交AC于点E 则 1 B 2 C 过点D作AC的平行线 交BC于点F 则 DE BC DF AC 四边形DFCE是平行四边形 DE CF E D F 1 2 而 1 B DAE BAC 2 C ADE ABC A A ADE B B AD A B ADE A B C ABC A B C A B C A B C E D F 1 2 定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知 如图 在 ABC和 A B C 中 A A 求证 ABC A B C A B C A B C E D 1 2 证明 在 ABC的边AB 或它的延长线 上截取AD A B 过点D作BC的平行线 交AC于点E 则 则 B 1 C 2 ABC ADE AD A B AE A C 而 A A ADE A B C ABC A B C A B C A B C E D 1 2 定理3 三边成比例的两个三角形相似 已知 如图 在 ABC和 A B C 中 求证 ABC A B C A B C A C E D B 证明 在 ABC的边AB 或它的延长线 上截取AD A B 过点D作BC的平行线 交AC于点E 则 AD A B AE A C 而 BAC DAE ABC ADE 又 AD A B DE B C ADE A B C ABC A B C A B C A C E D B 例 已知 如图 ABD C AD 2 AC 8 求AB C D A B 解 A A ABD C ABD ACB AB AC AD AB AB2 AD AC AD 2 AC 8 AB 4 1 如下图 在大小为4 4的正方形网格中 是相似三角形的是 当堂练习 2 已知 如图 在四边形ABCD中 B ACD AB 6 BC 4 AC 5 CD 求AD的长 解 AB 6 BC 4 AC 5 CD 又 B ACD ABC DCA AD A B C D 相似三角形判定定理的证明 定理1 两角分别相等的两个三角形相似 定理的运用 定理证明 定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 定理3 三边成比例的两个三角形相似 课堂小结 讲授新课 例1 如下图 如果木杆EF长2m 它的影长FD为3m 测得OA为201m 求金字塔的高度BO 我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题 解 BF ED BAO EDF 又 AOB DFE 90 ABO DEF BO 134 因此金字塔高134m 物1高 物2高 影1长 影2长 测高方法一 测量不能到达顶部的物体的高度 可以用 在同一时刻物高与影长成正比例 的原理解决 例2 如图 小明为了测量一棵树CD的高度 他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF 然后小明前后调整自己的位置 当他与树相距27m的时候 他的眼睛 标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上 已知小明的眼高1 6m 求树的高度 解析 人 树 标杆是相互平行的 添加辅助线 过点A作AN BD交ID于N 交EF于M 则可得 AEM ACN A E C D F B N A E C D F B N 解 过点A作AN BD交CD于N 交EF于M 因为人 标杆 树都垂直于地面 ABF EFD CDF 90 AB EF CD EMA CNA EAM CAN AEM ACN AB 1 6m EF 2m BD 27m FD 24m CN 3 6 m CD 3 6 1 6 5 2 m 故树的高度为5 2m 测高方法二 测量不能到达顶部的物体的高度 也可以用 利用标杆测量高度 的原理解决 例3 为了测量一棵大树的高度 某同学利用手边的工具 镜子 皮尺 设计了如下测量方案 如图 在距离树AB底部15m的E处放下镜子 该同学站在距离镜子1 2m的C处 目高CD为1 5m 观察镜面 恰好看到树的顶端 你能帮助他计算出大树的大约高度吗 解 1 2 DCE BAE 90 DCE BAE 解得BA 18 75 m 因此 树高约为18 75m D B A C E 2 1 测高方法三 测量不能到达顶部的物体的高度 也可以用 利用镜子的反射测量高度 的原理解决 1 铁道口的栏杆短臂长1m 长臂长16m 当短臂端点下降0 5m时 长臂端点升高 m 8 2 某一时刻树的影长为8米 同一时刻身高为1 5米的人的影长为3米 则树高为 4米 当堂练习 3 如图 为了估算河的宽度 我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A 再在河的这一边选定点B和点C 使AB BC 然后 再选点E 使EC BC 用视线确定BC和AE的交点D 此时如果测得BD 118米 DC 61米 EC 50米 求河的宽度AB 精确到0 1米 解 ADB EDC ABD ECD 90 答 河的宽度AB约为96 7米 ABD ECD 两角分别相等的两个三角形相似 解得 4 某同学想利用树影测量树高 他在某一时刻测得小树高为1 5米时 其影长为1 2米 当他测量教学楼旁的一棵大树影长时 因大树靠近教学楼 有一部分影子在墙上 经测量 地面部分影长为6 4米 墙上影长为1 4米 那么这棵大树高多少米 D 6 4 1 2 1 5 1 4 A B C 解 作DE AB于E得 AE 8米 AB 8 1 4 9 4米 物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分 讲授新课 由此得到 相似三角形对应高的比等于相似比 类似的 我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比 问题 把上图中的高改为中线 角平分线 那么它们对应中线的比 对应角平分线的比等于多少 图中 ABC和 A B C 相似 AD A D 分别为对应边上的中线 BE B E 分别为对应角的角平分线 那么它们之间有什么关系呢 证明如下 已知 ABC A B C 相似比为k 即求证 证明 ABC A B C B B 又AD AD 分别为对应边的中线 ABD A B D 由此得到 相似三角形对应的中线的比也等于相似比 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比 证明如下 已知 ABC A B C 相似比为k 即求证 证明 ABC A B C B B B A C BAC 又AD AD 分别为对应角的平方线 ABD A B D 3 两个相似三角形对应中线的比为 则对应高的比为 当堂练习 2 相似三角形对应边的比为2 3 那么对应角的角平分线的比为 2 3 1 两个相似三角形的相似比为 则对应高的比为 则对应中线的比为 解 ABC DEF 解得 EH 3 2 cm 答 EH的长为3 2cm 相似三角形对应角平线的比等于相似比 4 已知 ABC DEF BG EH分 ABC和 DEF的角平分线 BC 6cm EF 4cm BG 4 8cm 求EH的长 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比 课堂小结 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应中线的比等于相似比 讲授新课 相似三角形周长的比等于相似比 分析 ABC A1B1C1 相似比为k 问题 求证三角形对应周长的比等于相似比 A B C A1 B1 C1 问题 如图 ABC A B C 相似比为k1 它们对应高的比是多少 面积比是多少 A B C A B C 如图 分别作出 ABC和 A B C 的高AD和A D ABC和 A B C 都是直角三角形 并且 B B ABD A B D D D 相似三角形对应高的比等于相似比 ABC A B C 由此可得 相似三角形面积比等于相似比的平方 例 如图所示 D E分别是AC AB上的点 已知 ABC的面积为100cm2 且 求四边形BCDE的面积 ABC ADE 它们的相似比为5 3 面积比为25 9 又 ABC的面积为100cm2 ADE的面积为36cm2 四边形BCDE的面积为100 36 64 cm2 解 BAD DAE 且 当堂练习 1 连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于 面积比等于 2 两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm 若较大三角形的周长是42cm 面积是12cm2 则较小三角形的周长 cm 面积为 cm2 1 2 1 4 14 3 判断