2014年高考数学专题-等差数列.doc

2014年高考数学专题等差数列 等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘一、明确复习目标1理解等差数列的概念和性质；2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式解决简单问题二建构知识网络1定义：2通项公式：，推广： d=，d=是点列（n，an）所在直线的斜率.3前n项的和： 变式：=4等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5性质:设an是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2) an,an+m,an+2m组成公差为md的等差数列.(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n组成公差为n2d的等差数列.(4)当n=2k-1为奇数时，Sn=nak；S奇=kak，S偶=(k-1)ak (ak=a中)6等差数列的判定方法(nN*)(1)定义法: an+1-an=d是常数 (2)等差中项法:(3)通项法: (4)前n项和法:7知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,三数:, 四数8.会从函数角度理解和处理数列问题.三、双基题目练练手1.设是等差数列的前项和，若，则 ( )（A） （B） （C） （D）2.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 ( )A 5 B 4 C 3 D 23.等差数列an中，a100，a110且a11|a10|，Sn为其前n项和，则 ( )A. S10小于0，S11大于0 B. S19小于0，S20大于0C. S5小于0，S6大于0 D. S20小于0，S21大于04.已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，、设 （），则数列的前10项和等于A55B70C85D100 （ ）5.等差数列an的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则S13= 6.在等差数列中,已知,则n= .简答:1-4.ACBC; 3. a11|a10|=a10，a10+a11=a1+a200.S20=10（a1+a20）0.选 B4.5. a2+a4+a15=p（常数），3a1+18d=p，即a7=p.S13=13a7=p.6.设首项为,公差为,则四、经典例题做一做【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数. (2)等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和解(1),(2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.解法一:设的首项为,公差,则分析二:运用前n项和变式: 解法二: 为等差数列,故可设,则解法三：方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.题(1)利用了等差数列的性质和前Sn公式的特点;题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n项和公式的函数式特征.【例2】数列an的前n项和为Sn=npan（nN*）且a1a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列an是等差数列.分析：（1）注意讨论p的所有可能值.（2）运用公式an= 求an.解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，a1=a2，与已知矛盾，故p1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，（2p1）a2=0.a1a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.n2时，an=SnSn1=nan（n1）an1.=.则=，=.(n3)=n1.an=（n1）a2， anan1=a2. (n3)又a2-a1=a2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数.故an是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.提炼拓展: 证明等差数列的方法:1.由定义an-an-1=d, 2.等差中项,3.通项公式an=pn+q,4.Sn=Pn2=qn例3已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为，则数列5，8，11，和3，7，11的公差分别为3与4又因为数列5，8，11，和3，7，11的第100项分别是302和399，所以两个数列有25个相同的项。其和分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。解：设数列5，8，11，和3，7，11分别为设中的第n项与中的第m项相同，即根据题意得：从而有25个相同的项，且公差为12，其和(另法:由m=3r知第r个相同的项为b3r=12r-1)方法提炼：法1:设两数列中an=bm,求出n(或m)应满足的关系,再代回an(或bm)法2:两等差数列中相同的项成等差数列,且公差是两等差数列公差的最小公倍数.例4、等差数列an中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。解法1:由已知 又,两式相除得,从而由得：a1+a7=22, 又已知a1-a7=18,可解得a1=20,a7=2.公差d=-3, an=-3n+23.解法2:利用前奇数项和与中项的关系令m=2n-1，nN+则 , n=4, m=7, an=11 a1+am=2an=22, 又a1-am=18 a1=20，am=2 d=-3 an=-3n+23提炼拓展；利用求和公式和性质；转化为两个基本量行吗？行【研讨.欣赏】 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）. （1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 解（1）. （2）， ， 当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 解题回顾：方法是基本的转化为基本量,利用通项公式.题(3)考查类比的能力.五提炼总结以为师1.等差数列的概念和性质，证明数列an是等差数列的方法：2.等差数列的通项公式与前n项和公式的求法与应用;五个元素a1，an，n，d，Sn中知三，可求另两个.3.思想.方法 :转化为基本量,利用性质,方程的思想,同步练习 等差数列 【选择题】1.在等差数列an中,am=n,an=m,则am+n的值为 （ ）（A）m+n （B） （C） （D）02. (2006全国)设是公差为正数的等差数列，若，则 ( )A B C D 3.如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则 （ ）（A）（B）（C）+（D）=4.（2004重庆）若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是： （ ）A 4005 B 4006 C 4007 D 40084【填空题】5.（2005天津）在数列an中,a1=1,a2=2,且则S100=_ 6.（2003全国）已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|= 简答.提示：1-4.DBBB; 5.2600; 6.设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，m=，n=.|mn|=.【解答题】7.如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差； 分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量解：设等差数列首项为，公差为d，则8.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解：设数列共2m+1（mN*）把该数列记为an依题意a1+a3+a2m+1=44 且a2+a4+a2m=33 即 (a2+a2m)=33（1） (a1+a2m)=44 （2） （1）（2）得m = 3代入（1）得a2+a2m = 22 am+1=11即该数列有7项，中间项为119.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n，bn=，证明:数列bn是等差数列.证明:Sn=n22n，a1=S1=1.当n2时，an=SnSn1=n22n（n1）2+2（n1）=2n3，a1满足上式即an=2n3.an+1an=2（n+1）32n+3=2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列.a2+a4+a2n=n（2n1），即bn=2n1.bn+1bn=2（n+1）12n+1=2.又b2=1，bn是以1为首项，2为公差的等差数列.10数列的首项,通项与前n项和之间满足(1)求证:是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式;(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.解:(1)当(2)(3)所求最小k=3.【探索题】已知数列an的各项均为正整数，且满足an+1=an22nan+2（nN*），又a5=11.（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出an的通项公式（不要求证明）；（2）设bn=11an，Sn=b1+b2+bn，Sn=|b1|+|b2|+|bn|，求的值.解：（1）由a5=11，得11=a428a4+2，即a428a49=0.解得a4=9或a4=1（舍）.由a4=9，得a326a37=0.解得a3=7或a3=1（舍）.同理可求出a2=5，a1=3.由此推测an的一个通项公式an=2n+1（nN*）.（2）bn=11an=102n（nN*），可知数列bn是等差数列.Sn=n2+9n.当n5时，Sn=Sn=n2+9n；当n5时，Sn=Sn+2S5=Sn+40=n29n+40.当n5时，=1；备选题 6.在等差数列an中，公差为，且a1+a3+a5+a99=60，则a2+a4+a6+a100=_.解析：由等差数列的定义知a2+a4+a6+a100=a1+a3+a5+a99+50d=60+25=85.答案：853.（2004年春季上海，7）在数列an中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线xy=0上，则an=_.解析：将点代入直线方程得=，由定义知是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.答案：3n27.（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1x）=，即f（5）+ f（6）=，f（4）+f（5）=，f（3）+f（4）=，f（2）+f（3）=，f（1）+ f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.答案：38.设等差数列an的前n项和为Sn已知a3=12, S120,S130()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由解： ()依题意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，()由d0可知 a1a2a3a12a13因此,若在1n12中存在自然数n,使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70由此得 a6a70因为a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大9.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数 解：设三个数为a，公差为d，则这5个数依次为a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意：(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 =且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5即 a2+2d2 = 且 a=1 a=1且d=当d=时，这5个数分别是、1、；当d=时，这5个数分别是、1、（2006江苏）设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）证明：必要性设a n是公差为 d1的等差数列，则b n+1b n = (a n+1a n+3)(a na n+2)=(a n+1a n)(a n+3a n+2)=d1d1=0所以b nb n+1 (n=1,2,3,)成立.又c n+1-c n=(a n+1-a n)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2) =d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,)，所以数列c n为等差数列.充分性。设数列c n是公差为d2的等差数列，且b nb n+1 (n=1,2,3,).证法一：c n= a n +2a n+1+3a n+2 c n+2= a n+2+2a n+3+3a n+4 -得c n - c n+2=( a n - a n+2)+2(a n+1 - a n+3)+3(a n+2 - a n+4) = b n + 2b n+1 + 3b n+2.c n- c n+2=( c n- c n+1)+( c n+1 - c n+2)=-2d2.bn + 2bn+1 + 3bn+2 =-2d2. 从而有bn+1 + 2bn+2 + 3bn+3 =-2d2. -得(b n+1 - b n)+2(b n+2 - b n+1)+3(b n+3 - b n+2)=0. b n+1 - b n0，b n+2 - b n+10, b n+3 - b n+20，由得b n+1 - b n=0(n=1,2,3,).由此不妨设b n =d3(n=1,2,3,)，则a n - a n+2 =d3(常数).由此c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2 = 4a n + 2a n+1 3d3,从而c n+1 = 4a n+1 + 2a