2015-2016学年福建省福州八中高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

2015-2016学年福建省福州八中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A45，1B135，1C90，不存在D180，不存在【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【专题】阅读型【分析】利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90，选出答案【解答】解：直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90，而斜率不存在，故选 C【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系2直线y2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是（）A（2，2）B（2，1）C（1，2）D（2，1）【考点】恒过定点的直线【专题】直线与圆【分析】直线y2=mx+m的方程可化为m（x+1）y+2=0，根据x=1，y=2时方程恒成立，可直线过定点的坐标【解答】解：直线y2=mx+m的方程可化为m（x+1）y+2=0当x=1，y=2时方程恒成立故直线y2=mx+m恒过定点（1，2），故选：C【点评】本题考查直线恒过定点，解题的关键是将方程中的参数分离，属于基础题3对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是（）Amn，m，nBmn，=m，nCmn，n，mDmn，m，n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】在A中，与相交或相行；在B中，与不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得【解答】解：在A中，mn，m，n，则与相交或相行，故A错误；在B中，mn，=m，n，则与不一定垂直，故B错误；在C中，mn，n，m，由由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，mn，m，n，则由面面平行的判定定理得，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4如图所示，直观图四边形ABCD是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）ABCD【考点】平面图形的直观图【专题】规律型【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可也可利用原图和直观图的面积关系求解【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2AB=2，下底为BC=1+，故选：A【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础5与圆x2+y2+4x4y+7=0和x2+y24x10y+13=0都相切的直线共有（）A1条B2条C3条D4条【考点】圆的切线方程【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】确定两圆相外切，即可得出结论【解答】解：圆x2+y2+4x4y+7=0的圆心为（2，2），半径为1，x2+y24x10y+13=0圆心是（2，5），半径为4 故两圆相外切与圆x2+y2+4x4y+7=0和x2+y24x10y+13=0都相切的直线共有3条故选：C【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题6正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A1：B1：3C1：3D1：9【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【专题】计算题【分析】设出正方体的棱长，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比【解答】解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，选C【点评】本题考查正方体的内切球和外接球的体积，是基础题7如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（）A与AC、MN均垂直相交B与AC垂直、与MN不垂直C与MN垂直，与AC不垂直D与AC、MN均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图因为正方体的棱长为2，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、M（0，0，1）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、O（1，1，0）、N（0，1，2）=（1，1，1），=（0，1，1），=（2，2，0）=0， =0，OMAC，OMMN故选A【点评】本题考查用空间向量的方法来判断线线垂直，解答本题的关键是正确建立坐标系，使所求坐标化，利用向量的坐标运算解答8设点A为圆（x1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）Ay2=2xB（x1）2+y2=4Cy2=2xD（x1）2+y2=2【考点】圆的切线方程；轨迹方程【专题】计算题【分析】圆（x1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，根据PA是圆的切线，且|PA|=1，可得，从而可求P点的轨迹方程【解答】解：设P（x，y），则由题意，圆（x1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1PA是圆的切线，且|PA|=1P点的轨迹方程为（x1）2+y2=2故选D【点评】本题以圆的标准方程为载体，考查圆的切线性质，考查轨迹方程的求解，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9直线x+2ay1=0与直线（a1）xay1=0平行，则a的值是0或【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】分类讨论；转化法；直线与圆【分析】根据直线平行的等价条件进行求解即可【解答】解：若a=0，则两直线方程为x1=0，x1=0，满足两直线平行，当a0时，若两直线平行，则，得a=，故答案为：0或【点评】本题主要考查直线平行的求解和应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键10若点P（4，2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c），（e， f，d），则c+e=1【考点】空间中的点的坐标【专题】空间位置关系与距离【分析】点P（4，2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（4，2，3），点P（4，2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，2，3），求出c与e的值，即可求得c与e的和【解答】解：点P（4，2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（4，2，3），点P（4，2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，2，3），点P（4，2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），c=3，e=4，c+e=1，故答案为：1【点评】本题主要考查求空间中的一个点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标的求法，属于基础题11已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长母线长【解答】解：圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，底面半径=1，底面周长=2，圆锥的侧面积=22=2，故答案为：2【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式、圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题12如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点在此几何体中，给出下面四个结论：B，E，F，C四点共面； 直线BF与AE异面；直线EF平面PBC； 平面BCE平面PAD；折线BEFC是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径其中正确的有（请写出所有符合条件的序号）【考点】棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】首先可根据几何体的平面展开图画出其直观图，然后根据中位线的性质，两条平行直线可确定一个平面，异面直线的概念，线面平行的判定定理，二面角的平面角的定义及求法，即可判断每个结论的正误，而对于结论，可画出该几何体沿底面正方形的边，及侧棱PD剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求出从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论的正误【解答】解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下：根据已知，EFADBC；EFBC；B，E，F，C四点共面；该结论正确；由图可看出BF和AE异面；该结论正确；由EFBC，EF平面PBC，BC平面PBC；EF平面PBC；该结论正确；分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GHEF，HMEF；而EF是平面BCE和平面PAD的交线；GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；若设该几何体的侧棱长为2，则：GH=，HM=，MG=2；显然GH2+HM2MG2；GHM90；平面BCE与平面PAD不垂直；该结论错误；把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：BHPA，B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=；过E作ENPD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=，NP=；而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=；从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为；而BE+EF+FC=；该结论错误；综上得正确的结论为故答案为：【点评】考查中位线的性质，两平行直线可确定一个平面，能根据几何体的平面展开图画出它的直观图，线面平行的判定定理，以及二面角的平面角的概念及求法，将立体图形转变成平面图形解题的方法三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13如图，已知点A（2，3），B（4，1），ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x2y+2=0上（）求AB边上的高CE所在直线的方程；（）求ABC的面积【考点】直线的一般式方程【专题】直线与圆【分析】（I）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出（II）联立直线方程可得交点，利用直角三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2），kAB=1且kCE=1，CE：y2=x3，即xy1=0（）由得C（4，3），|AC|=|BC|=2，ACBC，SABC=2【点评】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点、直角三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题14如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PD=AD=2EC=2（1）请画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥BCEPD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）由已知中底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PD=AD=2EC=2根据三视图的定义，易得到该几何体的三视图；（2）由已知中PD平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我们计算出棱锥的底面面积和高，代入棱体积公式，即可求出四棱锥BCEPD的体积；【解答】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：（3分）（2）PD平面ABCD，PD平面PDCE平面PDCE平面ABCDBCCDBC平面PDCE（5分）SPCDE=（PD+EC）DC=3（6分）四棱锥BCEPD的体积V=SPCDEBC=2（8分）【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，棱锥的体积，熟练掌握空间几何图形的几何特征，三视图的定义及画法，棱锥的体积公式是解答本题的关键15已知圆C经过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线xy=0上（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）为圆C上任意一点，求点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值和最小值【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】（1）确定圆心坐标与半径，可求圆C的方程；（2）点P到直线x+2y+4=0的距离转化为圆心到直线x+2y+4=0的距离问题【解答】解：（1）AB的中点坐标为（1，0），圆心在直线x=1上，（1分）又知圆心在直线xy=0上，圆心坐标是（1，1），圆心半径是，（4分）圆方程是（x1）2+（y1）2=5；（7分）（2）设圆心到直线x+2y+4=0的距离，直线x+2y+4=0与圆C相离，（9分）点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值是，（12分）最小值是（15分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，正确转化是关键16如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C是圆O上的点（1）求证：BC平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）由PA圆所在的平面，可得PABC，由直径对的圆周角等于90，可得BCAC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点利用三角形的中位线性质，证明OMBC，QMPC，可得平面OQM平面PBC，从而证明QG平面PBC【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA圆所在的平面，可得PABC，C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90，可得BCAC再由ACPA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC平面PAC（2）若Q为PA的中点，G为AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点故OM是ABC的中位线，QM是PAC的中位线，故有OMBC，QMPC而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM平面PBC又QG平面OQM，QG平面PBC【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17已知平面外不共线的三点A，B，C到的距离都相等，则正确的结论是（）A平面ABC必平行于B平面ABC必与相交C平面ABC必不垂直于D存在ABC的一条中位线平行于或在内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】压轴题【分析】考虑三个点的位置，可能在平面同侧，也可能在两侧，不难判定结论的正确性【解答】解：已知平面外不共线的三点A、B、C到的距离都相等，则可能三点在的同侧，即平面ABC平行于，这时三条中位线都平行于平面；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DEBC，DE在内，所以选D【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考虑仔细全面，找反例有时事半功倍，是基础题18函数f（x）=ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）0（a，b为区间两端点）的为答案【解答】解：因为f（0）=10，f（1）=e10，所以零点在区间（0，1）上，故选C【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解19已知M=（x，y）|y=，y0，N=（x，y）|y=x+b且MN，则实数b的取值范围是（）A3，3B3.3C3，3）D（3，3【考点】直线和圆的方程的应用【专题】计算题【分析】集合M表示的图形是一个半圆N表示一条直线，当直线和圆相切时，求出 b值当直线过点（3，0）时，求出对应的 b值，结合结合图形可得实数b的取值范围【解答】解：集合M=（x，y）|y=，y0表示的图形是一个以原点为圆心，以3为半径的半圆（x轴以上部分），如图：N=（x，y）|y=x+b表示一条直线当直线和圆相切时，由 r=3=，解得 b=3，或 b=3 （舍去）当直线过点（3，0）时，0=3+b，b=3当 MN时，结合图形可得实数b的取值范围是 （3，3，故选D【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题20已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x4）=f（x），且在区间0，2上f（x）=x，若关于x的方程f（x）=logax有三个不同的根，则a的范围为（）A（2，4）B（2，2）C（，2）D（，）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象；函数的周期性【专题】函数的性质及应用【分析】首先求出f（x）的周期是4，画出函数的图象，得到关于a的不等式，解得即可【解答】解：由f（x4）=f（x）可得周期等于4，当x（0，10时，函数的图象如图f（2）=f（6）=f（10）=2，再由关于x的方程f（x）=logax有三个不同的根，可得，解得 a，故选D【点评】本题主要考查函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21设点A（3，5）和B（2，15），在直线l：3x4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为5【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】设点A（3，5）关于直线l：3x4y+4=0的对称点为A（a，b），求出A可得|PA|+|PB|的最小值=|AB|【解答】解：设点A（3，5）关于直线l：3x4y+4=0的对称点为A（a，b），则，解得A（3，3）则|PA|+|PB|的最小值=|AB|=5故答案为：5【点评】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=（）3=故答案为：【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）23如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a0），B（0，a），C（4，0），D（0，4）设AOB的外接圆圆心为E（1）若E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的E是否存在，若存在，求出E的标准方程；若不存在，说明理由【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式；圆的切线方程【专题】计算题；直线与圆【分析】（1）根据AOB为等腰直角三角形，算出它的圆心为E（，），半径r=求出直线CD的方程，根据E与CD相切，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得出实数a的值；（2）由|CD|=4与PCD的面积等于12，算出P到直线CD的距离为d=3若满足条件的点P有3个，说明与CD平行且与CD距离为3的两直线中的一条与E相切且另一条与E相交由此算出E的半径，进而算出实数a的值，得到满足条件的E的标准方程【解答】解：（1）C（4，0）、D（0，4），直线CD方程为化简得xy+4=0又AOB的外接圆圆心为E（，），半径r=由E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，即=，即=，解之得a=4；（2）C（4，0）、D（0，4），可得|CD|=4，设P到直线CD的距离为d，可得PCD的面积S=|CD|d=12，即，解之得d=3因此，只须与CD平行且与CD距离为3的两条直线中的一条与E相切，另一条与E相交由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2，圆E的半径为2+3=，即r=，解得a=10即存在a=10，满足使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，E的标准方程是（x5）2+（y5）2=50【点评】本题给出三角形AOB的外接圆与直线CD，探究直线与圆的位置关系着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式