2015年全国高考数学试题分类汇编§10.1椭圆及其性质.docx

10.1椭圆及其性质考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2 B.3 C.4 D.9答案B5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=|PF1|,且3443,试确定椭圆离心率e的取值范围.解析(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)如图,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1+2|PF1|.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.于是(1+1+2)|PF1|=4a,解得|PF1|=4a1+1+2,故|PF2|=2a-|PF1|=2a(+1+2-1)1+1+2.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而4a1+1+22+2a(+1+2-1)1+1+22=4c2,两边除以4a2,得4(1+1+2)2+(+1+2-1)2(1+1+2)2=e2.若记t=1+1+2,则上式变成e2=4+(t-2)2t2=81t-142+12.由3443,并注意到t=1+1+2关于的单调性,得3t4,即141t13.进而12e259,即22b0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|.(i)求的值;(ii)若|PM|sinBQP=759,求椭圆的方程.解析(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.又因为=|PM|MQ|,及xM=0,可得=|xM-xP|xQ-xM|=|xP|xQ|=78.(ii)由(i)有|PM|MQ|=78,所以|PM|PM|+|MQ|=77+8=715,即|PQ|=157|PM|.又因为|PM|sinBQP=759,所以|BP|=|PQ|sinBQP=157|PM|sinBQP=553.又因为yP=2xP+2c=-43c,所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,因此553c=553,得c=1.所以,椭圆方程为x25+y24=1.考点二 椭圆的性质1.(2015课标,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3 B.6 C.9 D.12答案B2.(2015福建,11,5分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32 B.0,34 C.32,1 D.34,1答案A5.(2015浙江,15,4分)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.答案228.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,又kOM=510,从而b2a=510.进而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.(2)证明:由N是AC