函数的极值与导数(公开课)

3 3 2函数的极值与导数 2019 11 16 1 x y o a b y f x 问题一 已知函数y f x 在R上的图像 你能说出它的单调区间以及相应的导数的符号吗 2 x y o a b y f x 问题二 函数y f x 在a b两点的函数值与这两点附近的函数值有什么关系 函数在a b两点的导数值是多少 在a b两点附近 y f x 的导数的符符号有什么规律 3 问题三 函数y f x 在d e两点的函数值与这两点附近的函数值有什么关系 函数在d e两点的导数值是多少 在d e两点附近 y f x 的导数的符号有什么规律 4 1 极大值 函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都大 f a 0 y x f x 0 极值的定义 我们就说f a 是函数y f x 的一个极大值 点a叫做极大值点 a f a 0 且在 点x a附近的左侧f x 0 右侧f x 0 f x 0 5 x y b 1 极大值 函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都大 f a 0 且在 点x a附近的左侧f x 0 右侧f x 0 我们就说f a 是函数y f x 的一个极大值 点a叫做极大值点 极值的定义 6 2 极小值 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都小 我们就说f b 是函数的y f x 一个极小值 点b叫做极小值点 f b 0 且在点x b附近的左侧 右侧f x 0 f b 0 f x 0 x y b f x 0 f x 0 7 极小值点 极大值点统称为极值点 极小值 极大值统称为极值 极值反映了函数在某一点附近的大小情况 8 下图是函数定义在区间 a b 上的图象 指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 练习 9 探究 1 x a和x b可以是极值点吗 2 在定义域内可导函数的极值点是唯一的吗 3 极大值一定大于极小值吗 10 探究 1 x a和x b可以是极值点吗 11 探究 1 x a和x b可以是极值点吗 注意 1 函数在点a及其附近有定义 12 探究 2 在定义域内可导函数的极值点是唯一的吗 注意 2 极值是一个局部的性质 在整个定义域内可能有多个极值点 13 探究 3 极大值一定大于极小值吗 注意 3 极大值与极小值没有必然关系 极大值可能比极小值还小 14 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 思考 注意 4 f x0 0是x0为极值点的必要而不充分条件 15 求函数的极值 例题 16 求函数极值 极大值 极小值 的一般步骤 1 确定定义域并求导 2 令f x 0并求出方程的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 求导 求极点 列表 求极值 左负右正为极小 左正右负为极大 17 练习 18 1 极大值极小值的概念 2 如何求函数的极值 3 可导函数