2016年江苏省高考数学二模试卷(解析版).doc

2016年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上1已知集合A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，则集合AB中元素的个数为2已知复数z满足（23i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为3已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为4运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为5袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为6已知，那么tan的值为7已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为8在三角形ABC中，则的最小值为9已知数列an的首项为1，等比数列bn满足，且b1008=1，则a2016的值为10已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为11已知函数，若方程f（x）=x有且仅有一解，则实数a的取值范围为12在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（aR），则线段PQ长度的最小值为13已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，M2015，过M1点作斜率为k（k0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，AP4030的斜率乘积为14已知函数f（x）=x|xa|，若对任意x12，3，x22，3，x1x2恒有，则实数a的取值范围为二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15在ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b（）若B=60，求sinC的值；（）若，求sin（AB）的值16如图，平行四边形ABCD平面CDE，ADDE（I）求证：DE平面ABCD；（）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD平行17已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点（）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a18如图，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3tkm，且半径增大到81km时不再变化一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min（） 当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和表示无人侦察机到O点的距离OE；（）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由19已知数列an满足数列an前n项和为Sn（） 求数列an的通项公式；（）若amam+1=am+2，求正整数m的值；（）是否存在正整数m，使得恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由20已知函数f（x）=xlnxax2+a（aR），其导函数为f（x）（）求函数g（x）=f（x）+（2a1）x的极值；（）当x1时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求a的取值范围三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A选修4-1几何证明选讲（本小题满分10分）21若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，ONF=90，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）22已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=求A的逆矩阵C.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分0分）23过点P（3，0）且倾斜角为30的直线和曲线2cos2=4相交于A、B两点求线段AB的长D选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）24设 x，y，zR+，且x+y+z=1，求证：四.必做题（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为Sn”（）当时，记=|S3|，求的分布列及数学期望；（）当时，求S8=2且Si0（i=1，2，3，4）的概率26数列an各项均为正数，且对任意的nN*，有（）求证：；（）若，是否存在nN*，使得an1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由2016年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上1已知集合A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，则集合AB中元素的个数为3【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断【解答】解：由A中不等式解得：2x2，即A=（2，2），B=1，0，1，2，3，AB=1，0，1，则集合AB中元素的个数为3，故答案为：32已知复数z满足（23i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出【解答】解：（23i）z=3+2i，z=i，|z|=1，故答案为：13已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2【考点】极差、方差与标准差【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差【解答】解：一组数据8，10，9，12，11，这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= （810）2+（1010）2+（910）2+（1210）2+（1110）2=2故答案为：24运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15【考点】程序框图【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4； 当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15故答案为：155袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率【解答】解：袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，基本事件总数n=6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=3，这2只球颜色不同的概率为p=故答案为：6已知，那么tan的值为3【考点】两角和与差的正切函数【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cos，tan的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值【解答】解：，cos=，tan=2，tan（+）=，整理可得：tan=3故答案为：37已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：侧面三角形的斜高h=2，该正六棱锥的表面积S=+6=+12，故答案为： +128在三角形ABC中，则的最小值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b22ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值【解答】解：根据条件， =；由得，；=，当且仅当即时取“=”；的最小值为故答案为：9已知数列an的首项为1，等比数列bn满足，且b1008=1，则a2016的值为1【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知结合，得到a2016=b1b2b2015=（b1b2015）（b2b2014）（b1007b1009）b1008，结合b1008=1，以及等比数列的性质求得答案【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，a3=a2b2=b1b2，b3=，a4=a3b3=b1b2b3，an=b1b2bn1a2016=b1b2b2015=（b1b2015）（b2b2014）（b1007b1009）b1008，b1008=1，b1b2015=b2b2014=b1007b1009=（b1008）2=1，a2016=1，故答案为：110已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为【考点】基本不等式【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=0则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：正数a，b满足2ab+b2=b+1，a=0则a+5b=+5b=+=，当且仅当b=，a=2时取等号故答案为：11已知函数，若方程f（x）=x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a1或a=2【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a1时，2x+a在x0时，与y=x有一交点，而x+a在x0无交点，符合题意；再考虑当a1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a1时，y=2x+a在x0时，与y=x有一交点，y=x+a在x0与y=x无交点，符合题意；当a1时，只需x+a=x有且仅有一根，=a28=0，解得a=2故答案为a1或a=212在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（aR），则线段PQ长度的最小值为0【考点】两点间距离公式的应用【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求【解答】解：点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x3）2+y2=4x2+4y2，（x+1）2+y2=4，表示以（1，0）为圆心、半径等于2的圆点Q（3a，4a+5）到圆心（1，0）的距离d=，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为013已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，M2015，过M1点作斜率为k（k0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，AP4030的斜率乘积为22015【考点】椭圆的简单性质【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设Mn的坐标为（t，0），直线方程为y=k（xt），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得e=，可得a2=2b2=2c2，设Mn的坐标为（t，0），直线方程为y=k（xt），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x24tk2x+2k2t22b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，=，可令t=，0，即有AP1，AP2，AP4030的斜率乘积为（）（）=故答案为：2201514已知函数f（x）=x|xa|，若对任意x12，3，x22，3，x1x2恒有，则实数a的取值范围为3，+）【考点】分段函数的应用【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当xa时，函数f（x）为凸函数，当xa时，函数f（x）为凹函数，若对任意x12，3，x22，3，x1x2恒有，则a3即可，故实数a的取值范围是3，+），故答案为：3，+）二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15在ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b（）若B=60，求sinC的值；（）若，求sin（AB）的值【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理【分析】（）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值（）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解【解答】（本题满分为14分）解：（）在ABC中，3a=2b，3sinA=2sinB又B=60，代入得3sinA=2sin60，解得sinA=a：b=2：3，AB，即cosA=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）3a=2b，可得：a=，=，解得：c2=，c=，cosB=0，可得：sinB=1，3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA=sin（AB）=sinAcosBcosAsinB=cosA=16如图，平行四边形ABCD平面CDE，ADDE（I）求证：DE平面ABCD；（）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD平行【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP平面CDE，于是APDE，结合ADDE，得出DE平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN平面ABCD，由线面平行的性质得MNBC，与已知矛盾【解答】证明：（1）过A作APCD，垂足为P，平面ABCD平面CDE，平面ABCD平面CDE=CD，AP平面ABCD，APCD，AP平面CDE，DE平面CDE，APDE，又DEAD，AD平面ABCD，AP平面ABCD，ADAP=A，DE平面ABCD（2）假设MN平面ABCD，MN平面BCE，平面BCE平面ABCD=BC，MNBC，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾MN不可能与平面ABCD平行17已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点（）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a【考点】椭圆的简单性质【分析】（）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（）由直线l：y=ex+a，可得A（，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为1和中点坐标公式，求得F的坐标，计算|FF1|，即可得到所求最小值【解答】解：（）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4a2b2=0，可得判别式为4a2e64（b2+a2e2）（a4a2b2）=4（a4b2a2b4a4e2b2）=4a2b2（a2b2）a2c2b2=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（）由直线l：y=ex+a，可得A（，0），B（0，a），由（）可得xT=ea，由=e，可得ea+=e（0+），即e2+e1=0，解得e=（负的舍去）：（）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F（m，n），即有=， =+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=c，n=2a，即为F（c，2a），则|FF1|=2a故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a18如图，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3tkm，且半径增大到81km时不再变化一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min（） 当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和表示无人侦察机到O点的距离OE；（）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由【考点】解三角形的实际应用【分析】（I）在OCE中，CE=15t，使用余弦定理表示出OE；（II）令f（t）=OE2r2，通过导数判断f（t）的单调性计算f（t）的最小值，判断OE与测控半径r的大小关系【解答】解：（I）在OCE中，CE=15t，OC=90，由余弦定理得OE2=OC2+CE22OCCEcos=8100+225t22700tcosOE=（II）令f（t）=OE2r2=225t21350t+81009t3，令r=3t=81，解得t=90t9f（t）=27t2+450t1350=27（t）2+187513500f（t）在0，9上是减函数f（9）=2259213509+81009930当0t9时，f（t）0，即OEr雷达不能测控到无人侦察机19已知数列an满足数列an前n项和为Sn（） 求数列an的通项公式；（）若amam+1=am+2，求正整数m的值；（）是否存在正整数m，使得恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）化简可得数列an的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列an的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（）分类讨论即方程的解；（）化简S2m=1+2+3+6+2m1+23m1=3m1+m2，S2m1=3m11+m2，从而可得=1+，从而讨论求值【解答】解：（），数列an的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列an的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故an=；（）若m为奇数，则amam+1=m2m1=m+2，无解；若m为偶数，则amam+1=（m+1）2m2=2m，即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（）由题意知，S2m=1+2+3+6+2m1+23m1=（1+3+5+2m1）+（2+6+18+23m1）=m+=3m1+m2，S2m1=1+2+3+6+2m1=（1+3+5+2m1）+（2+6+18+23m2）=m+23m1=3m11+m2，故=1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时， =2=a2，所有满足条件的m值为1，220已知函数f（x）=xlnxax2+a（aR），其导函数为f（x）（）求函数g（x）=f（x）+（2a1）x的极值；（）当x1时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可【解答】解：（） 由题知x0，f（x）=lnx2ax+1，则g（x）=f（x）+2a（x1）=lnxx+1，当0x1时，g（x）为增函数；当x1时，g（x）为减函数所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值（） 由题意，f（x）=lnx2ax+1，（） 当a0时，f（x）=lnx2ax+10在x1时恒成立，则f（x）在（1，+）上单调递增，所以f（x）f（1）=0在（1，+）上恒成立，与已知矛盾，故a0不符合题意（） 当a0时，令（x）=f（x）=lnx2ax+1，则，且当2a1，即时，于是（x）在x（1，+）上单调递减，所以（x）（1）=12a0，即f（x）0在x（1，+）上成立则f（x）在x（1，+）上单调递减，所以f（x）f（1）=0在x（1，+）上成立，符合题意当02a1，即时，1，若，则（x）0，（x）在上单调递增；若，则（x）0，（x）在上单调递减又（1）=12a0，所以（x）0在上恒成立，即f（x）0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意综上所述，a的取值范围三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A选修4-1几何证明选讲（本小题满分10分）21若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，ONF=90，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值【考点】与圆有关的比例线段【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果【解答】解：ONNF，NF=，线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，|NF|max=|BE|=2B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）22已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=求A的逆矩阵【考点】特征向量的意义【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A1=A*，即可求得A1【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=， =，解得：，矩阵A=，丨A丨=6，A*=，A1=A*=，A1=C.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分0分）23过点P（3，0）且倾斜角为30的直线和曲线2cos2=4相交于A、B两点求线段AB的长【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】过点P（3，0）且倾斜角为30的直线的参数方程为：（t为参数）曲线2cos2=4即2（cos2sin2）=4，把y=sin，x=cos代入化为直角坐标方程把直线参数方程代入可得：t26t+10=0，利用|AB|=|t1t2|=即可得出【解答】解：过点P（3，0）且倾斜角为30的直线的参数方程为：（t为参数），曲线2cos2=4即2（cos2sin2）=4化为x2y2=4，把直线参数方程代入可得：t26t+10=0，t1+t2=6，t1t2=10|AB|=|t1t2|=D选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）24设 x，y，zR+，且x+y+z=1，求证：【考点】不等式的证明【分析】由x，y，zR+，且x+y+z=1，可得+2=2x，同理可得+2y， +2z，累加即可得证【解答】证明：由x，y，zR+，且x+y+z=1，可得+2=2x，同理可得+