“成比例线段”定理及其应用与拓展.doc

“成比例线段”定理及其应用与拓展襄阳市第47中学 熊沙【摘要】成比例线段问题贯穿平面几何的相似形与圆两大章的内容，本文将从成比例线段的定义，性质及如何证明四条线段成比例问题作出探讨。Proportional to the line through the plane geometry of the problem similar figures and circle the two chapters, this is proportional to the segment from the definition, nature and how to prove the four segments is proportional to explore issues成比例线段问题贯穿平面几何的相似形与圆两大章的内容，本文将从成比例线段的定义，性质及如何证明四条线段成比例问题作出探讨。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。例：如果a、b、c、d四条线段满足，则a、b、c、d是成比例线段。如果，则ad=bc;如果，则即；如果，则（a、b、c、d为线段，b+d0）。证明四条线段成比例问题，是常见的一种类型证明题，此类型题如果能清晰地理清思路，同学们将会茅塞顿开，自己的聪明才智和奇妙思想都将一齐涌现出来，得到问题的最佳证明。一、从基本图形得到四条线段成比例（1）、平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如基本图1，L1/L2/L3，L4交L1、L2、L3于分别于点A、B、C，L5交L1、L2、L3于分别于点D、E、F，则AB/BC=DE/EF（基本图1）此定理课本几何第二册并没有给出严密证明，现证明如下：证明：连AE、BD、CE、BFAD/BE/CFSABE =SBED， SBCE=SBEFAB/BC=SABE/SBCE，DE/EF=SBED/SBEFAB/BC=DE/EF（2）、由平行线分线段成比例定理的推论得四条线段成例。如基本图2、基本图3 （基本图2） （基本图3）AD/DB=AE/EC上两图，若DE/BC，则 AD/AB=AE/ACBD/AB=CE/AC二、由两个三角形相似得四条线段成比例这种方法，应用得非常普遍。即把要证明的四条线段放在两个合适的三角形中，通过证明两个三角形相似，然后应用两个三角形对应边成比例得到证明。此种方法为常规方法，大多数同学都能熟练应用，因此不再赘述。三、引入中介值或替换的思想，得四条线段成比例例1、如图，过ABCD的顶点A作一条直线与BD、BC、DC的延长线分别交于E、F、G，求证：AE是EF、EG的比例中项。证明：AD/BF，DG/ABEF/AE=BE/DE，AE/EG=BE/DEEF/AE=AE/EG，即AE是EF、EG的比例中项。以上解法就应用了“引入中介值”的方法。它的原理便是利用等式的传递性，即A=B，B=C，则A=C。例2、如图，在ABC中，AD平分BAC交BC于D，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD2=FBFC证明：连AFEF垂直平分ADFA=FDFAD=FDAFAC=FADDAC，B=FDABAD而FAD=FDA，DAC=BADFAC=B又AFC=BFAFACFBAFC/FA=FA/BF，即FA2=FBFCFD2=FBFC以上解法便利用“FA”取代“FD”，证明取代后的四条线段成比例即可。评注：本文提供的证明四条线段成比例的三大方法是有机的整体，第一大方法是理论的基石；第二大方法是第一大方法的应用，第三大方法可化归为一、二两大方法。如果同学们在学习中能灵活地使用这些方法，则可在解题中拓展思路，培养自己分析问题解决问题的能力，提高数学思维品质。参考文献1梅全雄. 多媒体计算机辅助教学与多媒体课件制作