常用模拟低通滤波器的设计.ppt

第八节常用模拟低通滤波器的设计 一 为何要设计模拟低通滤波器 首先将要设计的数字滤波器的指标 转变成模拟低通原型滤波器的指标后 设计 模拟低通原型 滤波器 模拟滤波器的设计 逼近 不属于本课程的范围 但由于没学过 在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计 1 Butterworth巴特渥斯滤波器2 Chebyshev切比雪夫滤波器它们都有严格的设计公式 现成的曲线和图表供设计 它们滤波器各有特点 典型模拟滤波器的特点 1 Butterworth巴特渥斯滤波器它具有单调下降的幅频特性 即最平幅度 2 Chebyshev切比雪夫滤波器在通带或阻带等波纹 可提高选择性 3 Bessel贝塞尔滤波器在通带内有较好的线性相位特性 4 Ellipse椭圆滤波器其选择性相对前三种是最好的 二 模拟滤波器设计思想 根据模拟滤波器设计要求 求出相应的模拟系统函数 使其逼近某个理想滤波器的特性 滤波器的特性包括有 幅度特性 相位特性 群时延特性 在此我们采用幅度平方函数特性来设计 三 根据幅度平方函数确定系统函数1 求滤波器的幅度平方函数 设计模拟滤波器经常要借助其幅度平方函数其中 Ha s 是模拟滤波器的系统函数 假设p1 z1为Ha s 的一个零点和一个极点 则 p1 z1必为Ha s 的一个零点和极点 Ha s Ha s 的零极点成象限对称分布 所以必然有如下形式 z1 p1 z1p1 2 根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤 我们知道 实际滤波器都是稳定的 因此其极点一定位于S平面左半平面 这样可根据幅度平方函数通过如下步骤分配零 极点来设计出模拟滤波器的系统函数 1 由来确定象限对称的S平面函数 2 将因式分解 得到各零点和极点 3 按照与Ha s 的低频特性或高频特性的对比就可确定出增益常数 1 由来确定象限对称的S平面函数 将代入中即得到s平面函数 2 将因式分解 得到各零点和极点 将左半平面的极点归于Ha s 如无特殊要求 可取的对称零点的任一半作为Ha s 的零点 如要求是最小相位延时滤波器 则应取左半平面零点作为Ha s 的零点 且轴上的零点或极点都是偶次的 其中一半属于Ha s 3 按照与Ha s 的低频特性或高频特性 确定出增益常数 由的条件 代入可求得增益常数 例子 根据以下幅度平方函数确定系统函数Ha s 四 Butterworth巴特渥斯低通滤波器1 幅度平方函数 Butterworth低通滤波器具有通带最平幅度逼近特性 是一全极点型滤波器 且极点均匀分布上 c的圆上 并且与虚轴对称 其最主要特点 在通带内 幅频最平坦 随着频率的升高而单调下降 其幅度平方函数为其中N为整数 表示滤波器的阶次 c定义为截止频率 为振幅响应衰减到 3dB处的频率 2 Butterworth滤波器的极点分布 由可知Butterworth的零点全部在S 处 它是全极点型滤波器 且分布在半径为 c的圆上 呈象限对称分布 为了得到稳定的滤波器 s左半平面的极点必须分配给Ha s s右半平面的极点分配给Ha s 取其分布在左平面的极点 设计出巴特沃斯低通滤波器 3 Butterworth的幅度响应及极点分布 其中左半平面构成Butterworth滤波器的系统函数极点不会落在S平面上的虚轴上 4 Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系 当N增大时 滤波器的特性曲线变得陡峭 则更接近理想矩形幅度特性 5 3dB带宽 6 Butterworth滤波器的特点 总结 1 当 0时 即 0处无衰减 2 当 c时 在止带内的逼近是单调变化的 不管N为多少 所有幅频特性曲线都经过 3dB点 或说衰减3dB 这就是3dB不变性 或 通带最大衰减 3 在 c的通带内 前 2N 1 阶导数为零 因而Butterworth又称最平幅度特性滤波器 随着 由0变到 c Ha j 2单调减小 N越大 减小越慢 也就是通带内特性越平坦 有最大平坦的幅度特性 即N阶Butterworth低通滤波器在 0处 4 在 c 即在过渡带及阻带中 Ha j 2也随 增加而单调减小 但是 c 1 故比通带内衰减的速度要快得多 N越大 衰减速度越大 当 s 即频率为阻带截止频率时 衰减为 5 滤波器的特性完全由其阶数N决定 N越大 则通带内在更大范围内更接近于1 在止带内迅速地接近于零 因而幅频特性更接近于理想的矩形频率特性 2为阻带最小衰减 7 归一化的Butterworth滤波器的系统函数 在一般设计中 都先把 c设为1rad s 这样使频率得到归一化 归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查 即若令 8 Butterworth滤波器设计步骤 1 根据设计规定 确定 c和N 2 由确定Ha s Ha s 的极点 3 Sk的前N个值 k 1 2 N 即Re Sk 0部分的极点 构成Ha s 4 常数K0可由A 和Ha s 的低频或高频特性对比确定 9 例子 导出Butterworth低通滤波器的系统函数 设 c 1rad s N 3 解 方法一 根据幅度平方函数 方法二 方法二 由于 c 1rad s 查表得 10 Butterworth滤波器的阶数N设计公式 1 已知 c s和As求ButterworthDF阶数N 2 已知 c s和 p的衰减Ap求ButterworthDF阶数N 3 已知 p s和 p的衰减Ap和As求ButterworthDF阶数N 例子1 试设计一个模拟低通Butterworth滤波器 取N 3阶 根据N 3 查表得归一化系统函数 例子2 设低通DF的3dB带宽频率wc 0 2 止带频率ws 0 4 在w ws处的止带衰减20lg H ejws 15dB 试用脉冲响应不变法 冲激不变法 设计一个Butterworth低通DF 设采样频率fs 20kHz 解 设计分为4步 1 将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标 因为 fs 20kHz 则采样间隔为T 1 fs 1 20kHz 对于冲激不变法 频率变换是线性的 2 设计Ha s 将上述设计指标代入求出N阶数 x n 0 534 0 533 1 241 1 599 y n 0 534 1 241 0 533 1 001 0 306 y n x n 并联型 级联型 例子3 试用双线性变换法设计Butterworth低通DF 已知低通DF的3dB带宽频率 止带起始频率 在处的止带衰减解 1 将DF的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标 对双线性变换法根据3dB带宽频率 1 试设计一个模拟低通Butterworth BW 型滤波器 要求截止频率fp 5kHz 通带最大衰减Ap 3dB 阻带起始频率fs 10kHz 阻带衰减As 30dB 作业 五 切贝雪夫低通滤波器Chebyshev1 引入原因 Butterworth滤波器频率特性 无论在通带与阻带都随频率而单调变化 因此如果在通带边缘满足指标 则在通带内肯定会有富裕量 也就是会超过指标的要求 因而并不经济 更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内 或均匀分布在阻带内 或同时均匀在通带与阻带内 这时就可设计出阶数较低的滤波器 这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成 2 Chebyshev滤波器的种类 在一个频带中 通带或阻带具有这种等纹特性可分为 1 ChebyshevI型 在通带中是等波纹的 在阻带内是单调的 2 ChebyshevII型 在通带中是单调的 在阻带内是等波纹的 由应用的要求 决定采用哪种型式的Chebyshev滤波器 1 ChebyshevI型幅频特性和零极点图 N 3 N 3ChebyshevI型 下面我们仅讲此类型 2 ChebyshevII型幅频特性和零极点图 N 3 N 3ChebyshevII型 其设计思想同ChebyshevI型 在此课程中我们就不作介绍 3 ChebyshevI型幅度平方函数 ChebyshevI型模拟滤波器的振幅平方函数为 4 CN x N阶Chebyshev多项式 1 函数 Chebyshev多项式 2 Chebyshev多项式图形 0 1 1 1 1 x C4 x C5 x CN x 5 通带等波纹振荡 6 确定通带内波纹值 7 确定阶数N 1 N阶特性 阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和 可由幅频特性中看出N阶数 且当 N 奇数 则 0处有一最大值 N 偶数 则 0处有一最小值 N 3和N 5 N 4和N 6 2 N阶公式 由止带起始点 s处的关系 求出Chebyshev的阶数 8 求滤波器的系统函数Ha s 1 求极点 1 8 求滤波器的系统函数Ha s 1 求极点 2 8 求滤波器的系统函数Ha s 1 求极点 3 ChebyshevI型滤波器的极点 是一组分布在以b c为长轴 以a c处为短轴的椭园上的点 9 ChebyshevI型滤波器的归一化系统函数 若N 偶数时 当s 0时 即 0 式中 k为归一化系数 若N 奇数时 当s 0时 即 0 则归一化后的Chebyshev滤波器系统函数为 10 ChebyshevDF设计步骤 首先要先确定 N和 c 计算a b 确定Ha s Ha s 的极点 取Re Si 0的极点 得到Ha s k可由A 和Ha s 低频或高频特性对比确定 例1 设N 4 确定ChebyshevI型 极点位置 解 N 4 则有8个极点 我们要求在S左半平面上为稳定系统的四个极点 j 看出 对于N 4 只须求出一点 即可求出其它共轭 画极点 过小园交点画垂直线 过大园交点画水平线 由上可知 大半平面上 第1极点 第2极点 第3极点 第4极点 2 等间隔角均分 各点是虚轴对称的 且一定不落在虚轴上 N为奇数时 有落在实轴上的点 N为偶数时 实轴上也没有 3 幅度平方函数的极点 在椭园上 的位置确定 其垂直坐标由落