2013辽宁高考数学理科试题及答案.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数的模为（A） （B） （C） （D）2已知集合A B C D 3已知点（A） （B） （C） （D）4下面是关于公差的等差数列的四个命题： 其中的真命题为（A） （B） （C） （D）5某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是0.020.0150.010.005频率组距O 20 40 60 80 100 成绩/分（A） （B） （C） （D）6在，内角所对的边长分别为且，则A B C D 7使得A B C D 8执行如图所示的程序框图，若输入A B C D 否是开始输入输出S结束9已知点A B C D10已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为A B C D 11已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（A） （B） （C） （D）12设函数（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则 .15已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接，若，则的离心率 .16为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）设向量（I）若 （II）设函数18（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。（I）求证：（II）19（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.20（本小题满分12分）如图，抛物线，点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于），切线的斜率为。（I）求的值；（II）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程。21（本小题满分12分）已知函数（I）求证： （II）若恒成立，求实数取值范围。请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，垂直于于，垂直于，连接。证明：（I） （II）23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）求与交点的极坐标；（II）设为的圆心，为与交点连线的中点。已知直线的参数方程为，求的值。24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，其中。（I）当时，求不等式的解集； （II）已知关于的不等式的解集为，求的值。参考答案 一选择题：1. B 由已知所以2. D解：由集合A，；所以3. A解：，所以，这样同方向的单位向量是4.D解：设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确5.B 解：第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。6.A 解：边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以。7.B解：通项，常数项满足条件，所以时最小8.A 解：的意义在于是对求和。因为，同时注意，所以所求和为=9.C解：显然角O不能为直角（否则得不能组成三角形）若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C10.C解：由球心作面ABC的垂线，则垂足为斜边BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=，所以半径R=11.B解： 顶点坐标为，顶点坐标，并且每个函数顶点都在另一个函数的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=12.D解：由已知，。在已知中令，并将代入，得；因为，两边乘以后令。求导并将（1）式代入，显然时，减；时，增；并且由（2）式知，所以为的最小值，即，所以，在时得，所以为增函数，故没有极大值也没有极小值。13. 解：直观图是圆柱中抽出正四棱柱。14. 63解：由递增，所以，代入等比求和公式得15. 解： 由余弦定理，解得，所以A到右焦点的距离也是8，由椭圆定义：，又，所以16. 10 解：设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得，显然各个括号为整数。设分别为，则。设=，因为数据互不相同，分析的构成，得恒成立，因此判别式，得，所以，即。17解：（I）由，及又，所以.（II）=.当所以 18解：（I）由AB式圆的直径，得ACBC、 由PA平面ABC、BC平面ABC、得PABC. 又PAAC=A,PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC平面PAC. 因为BC平面PBC. 所以平面PBC平面PAC.（II）（解法一）过C作CM/AP,则CM平面ABC.，如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角标系因为AB=2、AC=1、所以A(0、1、0）、B（、P（0、1、1）故=.设平面BCP的法向量为. 不妨令y=1.则n=（0、1、-1）.因为设平面ABP的法向量为. 则,所以不妨令x=1、则.于是cos=,所以由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为.过C作CMAB于M、因为PA平面ABC、CM平面ABC，所以PACM.故CM平面PAB，过M作MNPB于N，链接NC，由三垂线定理得CNPB.所以CNM为二面角C-PB-A的平面角.在RtABC中，由AB=2、AC=1、得在RtPAB中,由AB=2、PA=1、得PB=.因为RtBNMRtBAP,所以又在RtCNM中，CN=，故cosCNM=.所以二面角C-PB-A的余弦值为。19解：（I)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题，则有=”张同学所取的3道题都是甲类题“.，所以 .(II)X所有的可能取值为0、1、2、3. ; ; ; .X0123P所以E（X)=0+1+2。20解：因为抛物线上任意一点（x,y)的切线斜率为，且切线MA的斜率为-，所以A点坐标为（-1，）。故切线MA的方程为 .因为点M在切线MA及抛物线上，于是 ， . 由得p=2.（II）设N（x,y),A由N为线AB中点知 . 切线MA、MB的方程为 由得MA，MB的交点M的坐标为 . 原M（ . 由得 当时，A,B重合与原点O,AB 中点N为O，坐标满足.因此AB中点N的轨迹方程为 .21(I)证明：要证x0,1时，1-,需证明.当x（0,1）时 (x)0,因此h(x)在【0,1】上市增函数，故h(x)h(0)=0.所以 记0，因此K（x）在0,1上试增函数，故K（x）K(0)=0.所以 .综上，.（II）（解法一） ，.记H（x）=x-2sin x,则H（x）=1-2cos x,当x0，于是G（x）在0,1上试减函数，从而当x（0,1）时，-3时， 在0,1上不恒成立. -3时，a+30,所以存在，使得0，此时0，于是在0,1上试增函数，因此当x(0,1)时，G(x)G(0)=0,从而F(x)在0,1上是增函数，因此F(x)F(0)=0,所以 当x0,1时， 同理可证，当所以x.因为当x0,1时， .所以当a-3时，在0,1上不恒成立.因为 所以存在（例如中的较小值）满足g，即在0,1上不恒成立.综上，实数a的取值范围是22证明：由直线