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一道 2014年高考文科数学试题的探究 （甘肃省秦安县第二中学，741600） 罗文军一、引言 一道好的高考题总会让你产生无尽的遐想，细细品来，令人回味无穷。2014年高考数学全国新课标（）卷文科第17题就是这样的好题: 四边形的内角与互补，, .(I)求和;(II)求四边形的面积. 与2010-2013年全国高考新课标卷中的所有解三角形试题相比较，这道题以对角互补的四边形为载体，题目简明，背景新颖，考查了余弦定理，诱导公式以及三角形的面积公式，也考查了运算求解能力和化归思想. 源头探究【源头1】 从源头上来看这道高考题，本题改编自课本人教版必修5第一章解三角形1.2应用举例第18页练习第2题 ：一块四边形土地的形状如图所示，它的三条边的长分别是，两个内角是和，求四边形的面积 真是“众里寻它千百度，那题却在课本习题处”,也体现了“高考题出于课本，高于课本”.2、 源头2 由于四边形的内角与互补，根据圆内接四边形的判定定理，对角互补的四边形的4个顶点共圆.在历年高考真题中，也有该高考题的“影子”：(2001年全国高考数学文科第19题) 已知圆内接四边形的边长分别为，求四边形的面积. A B D C 通过探源，我们发现这道题既可以看成改编自课本，也可看成改编自历年高考真题.从深层次上来说，这道题以圆的内接四边形为背景.圆的内接四边形问题属于选修41几何证明选讲中的知识，在选做题考查，本题是必做题，因此没有直接给出圆，而是以四边形的内角与互补代替.三、解法探究 笔者另辟蹊径，给出该题的三种另解如下. 另解一： (I)分别延长和并相交于点,因为与互补 ，与互补,所以,所以所以,设，则有，解得，所以,在中，由余弦定理得,又,所以，,在中，由余弦定理得,解得.(II). E A D B C另解二：(I)在上取 ，连结,由于四边形的内角与互补，根据圆内接四边形的判定定理，对角互补的四边形的4个顶点共圆，由于 ，所以，故，所以 , 所以为正三角形,所以,所以,在中，由余弦定理得，所以(II)所以 D A B E C以下给出第(II)问令人“耳目一新”的解法三.另解三：(II)由于,所以点,在以,为焦点，长轴等于4的椭圆上，设椭圆方程为，,则 (1)由于四边形的内角与互补，根据圆内接四边形的判定定理，对角互补的四边形的4个顶点共圆，由托勒密定理有 (2)由两点间距离公式得： (3)联立(2)、(3)得，变形得 (4)在椭圆中，由焦半径公式得,所以 (5)将(5)代入(4)得，所以. DA O C B4、 变式 以下给出两道以对角互补的四边形为载体的解三角形试题.例1(原创题)四边形的内角与互补，求.解：在中，由余弦定理得，,.在中，由余弦定理得所以,解得.例2（2005年全国初中数学联
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