等差数列的前n项和公式的性质

2 2 2等差数列前n项和公式的性质及其应用 思 2分钟 an 1 an 1 2an n 2 an an 1 d n 2 在结构上是关于n的一次函数 an a1 n 1 d am n m d pn k 1 等差数列的递推公式是什么 2 等差数列通项公式是什么 结构上它有什么特征 3 等差数列前n项和的两个基本公式是什么 思考1 若数列 an 的前n和那么数列 an 是等差数列吗 an 是等差数列 知识探究 一 等差数列与前n项和的关系 议 5分钟 思考2 将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数 这个函数有什么特点 当d 0时 Sn是常数项为零的二次函数 思考3 一般地 若数列 an 的前n和Sn An2 Bn 那么数列 an 是等差数列吗 若Sn An2 Bn C呢 1 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn 2 数列 an 的前n项和是Sn An2 Bn C 则 若C 0 则数列 an 是等差数列 若C 0 则数列 an 从第2项起是等差数列 思考4 若 an 为等差数列 那么是什么数列 数列 an 是等差数列 为等差数列 即等差数列 an 的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列 且公差是数列 an 的公差的一半 学以致用 2 等差数列 an 中 Sn是其前n项和 a1 2011 则S2011的值为 A 0B 2011C 2011D 2011 2011 C 知识探究 二 等差数列前n项和的性质 思考1 在等差数列 an 中 每连续k项的和组成的数列 即数列a1 a2 ak ak 1 ak 2 a2k a2k 1 a2k 2 a3k 是等差数列吗 性质 若数列 an 是等差数列 那么数列Sk S2k Sk S3k S2k 仍然成等差数列 思考3 在等差数列 an 中 设S偶 a2 a4 a2n S奇 a1 a3 a2n 1 则S偶 S奇与等于什么 S偶 S奇 nd 思考2 在等差数列 an 中 Sn S2n S3n三者之间有什么关系 S3n 3 S2n Sn 3 等差数列 an 中 已知S4 2 S8 7 则S12 学以致用 15 4 等差数列 an 的前m项的和为30 前2m项的和为100 则它的前3m项的和为 A 130B 170C 210D 260 c 思考4 设等差数列 an bn 的前n项和分别为Sn Tn 则等于什么 思考5 在等差数列 an 中 若a1 0 d 0 则Sn是否存在最值 如何确定其最值 当ak 0 ak 1 0时 Sk为最大 且 则 例2 Sn Tn分别是等差数列 an bn 的前n项的和 学以致用 1 已知两个等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为An和Bn 且 则使得为整数的正整数n的个数是 A 2B 3C 4D 5 变式探究 D 题型分类深度剖析 题型1 等差数列前n项和性质的简单应用 例1 1 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则该数列有 项 A 13B 12C 11D 10 A 变式探究 1 已知等差数列 an 满足a1 a2 a3 a101 0 则有 A a1 a101 0B a2 a100 0C a3 a99 0D a51 51 2 等差数列 an 前n项和Sn an2 a 1 n a 2 则an C 题型2 等差数列最值问题 例2 等差数列 an 中 a1 0 S9 S12 该数列前多少项的和最小 又 n N n 10或n 11时 Sn取最小值 小结 求等差数列 an 前n项和Sn的最值常用方法 方法1 二次函数性质法 即求出Sn an2 bn 讨论二次函数的性质 方法2 讨论数列 an 的通项 找出正负临界项 1 若a1 0 d 0 则Sn有大值 且Sn最大时的n 满足an 0且an 1 0 2 若a10 则Sn有小值 且Sn最小时的n 满足an 0且an 1 0 变式探究 1 首项为正数的等差数列 an 它的前3项和与前11项和相等 则此数列前 项和最大 2 等差数列 an 前n项和Sn中 以S7最大 且 a7 0的n的最大值为 3 等差数列 an 中 已知 a7 a16 9 且a14 5 则使an 0的最大自数n A 10B 11C 12D 13 7 13 例4 已知数列 an 的前n项和Sn 12n n2 求数列 an 的前n项和Tn 当n 1时 a1 S1 12 12 11 当n 2时 an Sn Sn 1 12n n2 12 n 1 n 1 2 13 2n n 1时适合上式 an 的通项公式为an 13 2n 由an 13 2n 0 得n 即当1 n 6 n N 时 an 0 当n 7时 an 0 解析 题型3 求等差数列的前n项的绝对值之和 1 当1 n 6 n N 时 Tn a1 a2 an a1 a2 an 12n n2 2 当n 7 n N 时 Tn a1 a2 an a1 a2 a6 a7 a8 an a1 a2 an 2 a1 a6 Sn 2S6 n2 12n 72 变式探究 1 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足an 2 2an 1 an 0 n