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第一章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法 概念及假设薄板弯曲微分方程内力及应力边界条件简支矩形薄板的双级数解法矩形薄板的单级数解法变厚度矩形薄板文克勒地基上的基础板薄板的温度应力 1 1概念及假设 板 两个平行平面和垂直于这两个平行面的柱面所围成的物体 1 1概念 中面 平分厚度的平面厚度 两个板面之间的距离称为板的厚度 薄板 板的厚度t远小于中面的最小尺寸b 这个板称为薄板 否则称为厚板 一般载荷分解为纵向载荷 作用在薄板中面内的载荷 横向载荷 垂直于中面的载荷 纵向载荷 沿薄板厚度均匀分布 平面应力问题失稳时横向载荷 使薄板弯曲 薄板弯曲问题 弹性曲面 当薄板弯曲时 中面所弯成的曲面 称为薄板的弹性曲面 挠度 中面内各点在横向的位移 概念 薄板小挠度弯曲理论的假设 1 垂直于中面方向的正应变忽略不计中面的任一根法线上 薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移 也就是挠度 物理方程 平衡方程 薄板小挠度弯曲理论的假设 2 横向剪应变忽略不计平衡方程中面法线变形后不伸缩 保持为一条直线 并且仍然垂直于变形后的中面 弹性曲面 薄板小挠度弯曲理论的假设 2 是次要的 远小于其他三个应力分量 薄板小挠度弯曲问题中的物理方程 薄板小挠度弯曲理论的假设 3 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移几何方程中面上任意部分 弯曲变形后在xy平面的投影保持不变 基本未知量 薄板弯曲的挠度w x y 思考 w为什么与z没有关系所有物理量都用w表示 由假设 2 得由假设 3 得 1 2薄板弯曲的基本方程 板内任意点的面内位移 满足假设 3 吗 由几何方程得应变分量 1 2薄板弯曲的基本方程 由于是小挠度 所以弹性曲面的曲率和扭率用w表示为 应变分量用曲率和扭率表示为 为板的广义应变 1 2薄板弯曲的基本方程 由物理方程得应力分量为 几何方程由于w与z没有关系 所以三个应力分量都与z成正比 1 2薄板弯曲的基本方程 由平衡方程 把应力分量用w表示的表达式带入上式得 1 2薄板弯曲的基本方程 横向剪应力用w表示为 对z积分得 1 2薄板弯曲的基本方程 由板上 下面横向剪应力的边界条件 得 代入到第三个平衡方程 得 1 2薄板弯曲的基本方程 积分得 由板下面的边界条件 得 1 2薄板弯曲的基本方程 薄板的上面有边界条件 把的表达式带入上式有 或 为抗弯刚度 1 2薄板弯曲的基本方程 从薄板内取出一个微块 长 宽和高分别为dx dy和t 1 3薄板的内力和应力 在垂直于x轴的横截面上 作用有应力分量 和与z成正比 所以他们在整个厚度上的合力等于零 即 每单位长度上 应力分量合成为弯矩 1 3薄板的内力和应力 每单位长度上 应力分量合成为扭矩 1 3薄板的内力和应力 横向剪应力分量只能合成为横向剪力 每单位长度上 应力分量合成为扭矩 1 3薄板的内力和应力 在垂直于y轴的横截面上 每单位长度上 应力分量 和合成为弯矩 扭矩和横向剪力 1 3薄板的内力和应力 1 3薄板的内力和应力 板内所有内力的表达式为 1 3薄板的内力和应力 利用曲率和扭率 弯矩和扭矩的表达式为 所有内力都是定义在单位长度上的 所以量纲为 弯矩和扭矩 N剪力 N m 1 3薄板的内力和应力 各应力分量与薄板内力及横向载荷的关系 1 3薄板的内力和应力 由平衡条件得薄板弯曲基本微分方程 1 3薄板的内力和应力 由平衡条件得薄板弯曲基本微分方程 1 3薄板的内力和应力 OA是夹紧边 OC是简支边 AB和BC是自由边 1 4边界条件 一个边上有三个边界条件 需要等效为两个 1 4边界条件 从AB边取出微段EF dx 受到扭矩Mxydx作用 将这个扭矩等效为一个力偶 两个力为Mxy 分别作用到E点和F点 取相邻微段FG dx 扭矩变换为一个力偶 力为F点合成为向下的合力 在整个边界AB上总的剪力在A B两点有未抵消的集中力AB边的边界条件变为 1 4边界条件 同样BC边的边界条件可以写为 其中等效剪力在B C两点作用有集中力 B点总的集中力为 两个自由边的交点 或 点边界条件一个自由边和其它边的交点 1 4边界条件 薄板弯曲的基本微分方程 四边简支边界条件假设挠度w为如下双三角级数 满足作用边界条件 求w求A 1 5简支边矩形薄板的双级数解法 将挠度的表达式代入薄板弯曲的基本微分方程 得 微分方程代数方程右边分布载荷q展为与左边同样的三角级数 如何求Cmn 利用三角级数的正交性 得 1 5简支边矩形薄板的双级数解法 如果q为均布载荷q0 上式变为m n只能取奇数 得 1 5简支边矩形薄板的双级数解法 代入挠度表达式得 在任意位置 受集中载荷P时 等效为分布载荷 1 5简支边矩形薄板的双级数解法 所以A成为代入挠度表达式 1 5简支边矩形薄板的双级数解法 双级数解法的优点 无论载荷情况如何 计算简单双级数解法的缺点只适用于四边简支的矩形薄板简支边不能受力矩载荷 也不能有已知的位移双级数解答收敛速度慢 计算内力时需要很多项 才能达到要求精度 1 5简支边矩形薄板的双级数解法 两个对边简支的矩形薄板 采用单级数解法是任意边把挠度w表示为单三角级数形式 满足x 0 a边的简支边界条件 代入薄板弯曲微分方程偏微分方程常微分方程 1 6矩形薄板的单级数解法 把右边展为单级数 代入 c 得 这个常微分方程的解可以为 1 6矩形薄板的单级数解法 针对受均布载荷q0作用的矩形板 特解为 挠度w关于x轴对称 所以 挠度表达式变为 假设另外两对边也是简支 则得到关于Am和Bm的联立代数方程 1 6矩形薄板的单级数解法 或者 其中 求得AmBm为 或者最后得挠度表达式为 1 6矩形薄板的单级数解法 单级数解法的优点 级数收敛速度快 计算辆少可以求解某一边上受弯矩载荷的情况也可以求某一边已知位移的情况 1 6矩形薄板的单级数解法 薄板弯矩和扭矩与挠度w的关系 假设 薄板厚度变化比较平缓 中面仍然是平面 上式仍然成立 但弯曲刚度D是x和y的函数 1 7变厚度矩形薄板 由薄板平衡方程 得到 1 7变厚度矩形薄板 进一步改写为 薄板厚度的不同变化规律 上面微分方程的系数取不同的函数形式 要求我们采用不同的方法求解 考察厚度沿某一方向线性变化的情况 1 7变厚度矩形薄板 考察厚度沿y方向线性变化的情况y b 2处厚度为t0 相应的弯曲刚度为任意点厚度表示为 1 7变厚度矩形薄板 弯曲刚度为 挠度w可以写成把公式 d e 代入薄板微分方程 得到关于 的方程 在 1到1之间 取任意数值方程都成立 所以 的所有各次幂的系数都应当等于零 得到如下常微分方程 1 7变厚度矩形薄板 最后求出各个wn 代入即得到变厚度矩形薄板的解 1 7变厚度矩形薄板 整个薄板放在弹性地基上 薄板承受横向载荷而发生挠度时 弹性地基对薄板作用一定的分布反力 即弹性抗力 文克勒地基是最简单的弹性地基 地基对薄板的分布反力可以表示为 薄板弯曲的基本微分方程变为 对于四边简支的矩形薄板 仍然可以用双三角级数法求解对于具有两个简支边的矩形薄板 仍然可以用单三角级数法求解求解过程变得复杂 得到结果与k有关 1 8文克勒地基上的基