减少解析几何运算量的常用策略

减少解析几何运算量的常用策略浙江省上虞中学 谢全苗（312300）解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1 回到定义定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”例1一直线被两直线：和：截得的线段的中点恰好是坐标的原点求这条直线的方程简析略解：此题的一般求解思路是：先求出分别与、的交点（用表示），然后利用中点坐标公式求出，进而得到的方程，这样运算量太大如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法设分别与、交于点、，又设的坐标为（），则有又因为、关于对称，所以点的坐标为（），则有，得可见）在：上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为图例2已知分别是椭圆的左右焦点，是该椭圆上的一动点，是的外角平分线，于，求动点的轨迹方程略解：设，延长和直线相交于，则，且所以，由椭圆的定义得：所以，即所以，动点的轨迹方程为设而不求例 已知的三个顶点都在椭圆上，若，重心是椭圆的右焦点，求直线的方程简析略解：因为椭圆的短轴的顶点，右焦点为重心，所以的坐标与三顶点的坐标有关，故设，则又因为在椭圆上，故由、求出、两点的坐标，再求直线的方程对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由得：由题意知：，将、整体代入得，这个正好是直线的斜率，而的中点坐标，即，所以直线的方程为：问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略 用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易例如图2，在直线上任取一点，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问当在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程图2简析略解： 椭圆两焦点为，作关于直线的对称点，要使所作椭圆的长轴最短，即最短，也就是最短，故点应是直线与已知直线的交点，如图2直线的方程为，由方程组得点，由中点坐标公式得，故直线的方程为解方程组得所求点的坐标为（，）由于，此时椭圆的方程为注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义最小折线段的和最短三点一直线寻找对称点对称变换简明的解法找到了对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系 活用平几由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了图例5（2001年全国高考试题）设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且轴，证明直线经过原点O简析略证：如图，记 轴与准线交点，过作，垂足为，则连结，与相交于点，则由平几知识得：，根据抛物线的几何性质，所以，即是的中点，与抛物线的顶点重合，所以直线经过原点O 巧用向量向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现的更深刻、更完善.例（1999年全国高中数学联赛试题）已知点，过点的直线与抛物线交于，两点，试判断的形状解：设，则有，三点共线，所以又，所以，故为直角三角形例已知圆和两个定点，点为圆上的动点，过点的圆的切线为，点关于的对称点为，求的最大值图分析：本题的常规解法是：首先求出点的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求的表达式（要运用点的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出的最大值这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁解：如图1，设与直线交于点，连接，由分别为的中点，得，且又，故 设，则，由题意得，则，即，即，得又,，当时，所以，此时，点的坐标为（，），切线方程为，点的坐标为（，） 利用极坐标例已知椭圆，直线：是上一点，射线OP交椭圆于，又点在OP上且满足当在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线(1995年全国高考压轴题)解题的策略分析：本题是求动点的轨迹方程，即找到关于的等式，可以用一般法来解，即设点，再布立方程组来解但必须看到这里有，六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比较简单但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择这里考虑到都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式这样，分辩清了，简捷的方法、合理的运算和要运用的知识也就自然择优而定了 用好焦半径公式例 如图已知梯形中=2, 点分有向线段所成的比为，双曲线过、三点,且以,为焦点，当时，求双曲线的离心率的取值范围.(2000年全国高考试题)解题的策略分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：中的，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点分有向线段所成的比”这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地：他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图以的垂直平分线为轴, 以所在的直线为轴,建立直角坐标系,则轴. 因为双曲线过、,且以,为焦点,由双曲线的对称性知、关于轴对称，并设双曲线方程为=1 (0,0), 则离心率=在做好这一基础性工作的前题下，如何由的范围来求的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到在本题这个双参数问题中，和既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维的绝妙押轴题这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭因此，他们根据的范围已知这一条件，进而确立：先视为主元，再视为主元，找出两个参数之间的关系=，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参数的范围这样一个整体的思路和思维策略 于是，他们先视为主元，找的关系式：依题意，记 (,0 ) , (,)，(,)，其中=为双曲线的半焦距，是梯形的高.由定比分点公式得：= ， =但在如何再视为主元，找出两个参数之间的关系=上，是又一次体现思维水平的层次性和思维策略的重要性视角一：视点、为直线与双曲线的交点，这时，虽能把方程代入=1得：这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了视角二：视点、在双曲线上，将、的坐标和=代入双曲线的方程,得=1 =1 由得：= 1 将式代入式整理得: (4)=1+2, 故得=1 .由题设 , 得 1 ,故得 . 所以双曲线的离心率的取值范围是.视角三：视、为点、E到焦点的距离，由焦半径公式得：，而、同号，从而所以由题设 , 得 1 ,故得 . 所以双曲线的离心率的取值范围是.这里同是、二点，但由于解题思维策略的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法和也不同，其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”简化解答